12. Бестиповые направленные отношения.

1. Сигнатуры языков схем бестиповых-отношений.

Рассмотренные ранее типизированные -отношения являются частным случаем бестиповых-отношений (определения 1.1 и 1.2), более того, все введенные операции композиции-отношений и оператор рекурсии были определены так, что они в полной мере применимы и к бестиповым-отношениям. Сохраняют свое значение и ограничения на интерпретацию элементов универсальных сигнатур, в том числе и определение комбинаторных констант как неподвижных точек относительно любых перестановок элементов носителя, за исключением того, что произвольная бестиповая комбинаторная константа тоже может быть представлена как объединение простых комбинаторных констант, но не обязательно конечное. Таким образом, для бестиповых-отношений мы сохраним основные определения

• универсальных сигнатур, в том числе и основных,

• общих принципов построения языков схем направленных отношений.

Изменение касается определения регулярных схем.

Языки регулярных схем -отношений вместо оператора рекурсии имеют сигнатуры, расширенные операциями параллельной и последовательной итерации (первая из них допустима только для языков схем бестиповых-от-ношений).

Параллельная итерация:

, где , и ,

или .

Последовательная итерация:

, где (тождественное бестиповое -отношение), и ,

или .

Заметим, что результат применения операции (последовательной) итерации к типизированной схеме -отношений ранее обозначался как .

Пусть – основная универсальная сигнатура , расширенная операциями последовательной и параллельной итерации. Класс назовем классом регулярных относительно -отношений.

Для конструктивных базисов, при условии наличия в нем хотя бы одного конструктора арности, большей 1, проблема типизации -отношений вообще не имеет принципиального значения, т.к. возможность конструирования в них, например, списков позволяет ограничиться рассмотрением только-отношений арности . Этот подход в явной форме был использован Дж. Бэкусом при определении его функциональной системы.

Одним из основных преимуществ типизированных схем -отношений является возможность их наглядного и «технологичного» представления сетевыми языками. Сохранение сетевого представления в сочетании с более высокой выразительностью языков бестиповых-отношений в определенной мере реализовано в языке функционально-логического программирования , описанию которого посвящена часть 4.

Рассмотрим частный случай языков бестиповых схем -отношений, в которых свободные переменные интерпретируются как типизированные-отно-шения, т.е. как обладающие определенной арностью, а связанные переменные являются, в общем случае, бестиповыми. Введение такого ограничения позволяет использовать сетевое представление схем такого языка при условии, что сети – элементы сетевого языка – не обязательно должны иметь одинаковую арность. Однако, основной проблемой остается вопрос использования сетевых грамматик для задания таких языков, так как нетерминальные сорта (элементы нетерминального базиса) уже не будут иметь фиксированную арность, и не ясно, как их использовать в качестве сортов элементов сетей.

Пусть – бестиповая схема -отношений, – интерпретация ее свободных переменных. Обозначим как схему арности , такую, что . Тогда для операций основной универсальной сигнатуры получим:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , где – минимальное решение уравнения при интерпретации , а , где – соответствующий компонент минимального решения системы уравнений при интерпретации .

Элементарные комбинаторные константы являются типизированными, и их интерпретация остается прежней.

Основной проблемой, не дающей непосредственной возможности использовать сетевое представление схем d-отношений, определяемое с помощью контекстно-свободных сетевых грамматик, является то, что минимальное решение уравнения , в общем случае, может потребовать для своего выражения неограниченного количества компонентов различных арностей. В языке принят, в определенном смысле, альтернативный подход к заданию -отношений:

• все определяемые отношения являются типизированными,

• одно определение связано с одним идентификатором,

• с каждым идентификатором ассоциируется любое количество имен -отношений («экземпляров») – индексированных копий этого идентификатора (индексы не обязательно выражают арность соответствующего-отноше-ния, и число их может быть любым),

• ответственность за то, что, в общем случае, рекурсивное определение любого экземпляра потребует конечного числа «экземпляров» -отношений для каждого идентификатора, возлагается на программиста.

В этой главе мы остановимся только на результатах, характеризующих выразительную силу языка схем бестиповых -отношений относительно языков схем типизированных-отношений (раздел 1.12.2) и относительно универсальных моделей вычислений (раздел 1.12.3), последнее – на примере класса челночных алгорифмов.