
- •1 . Введение в теорию направленных отношений предисловие
- •Введение в теорию направленных отношений.
- •Основные понятия.
- •Языки схем -отношений.
- •Классы -отношений.
- •Операции композиции -отношений.
- •Комбинаторные -отношения.
- •Дефинициональные расширения.
- •Конструктивные -отношения.
- •Основные результаты. Вначале докажем теорему о комбинаторной полноте .
- •Иерархия классов -отношений.
- •Исчисления включения и эквивалентности схем -отношений.
- •Отношения включения и эквивалентности схем -отношений.Рассмотрим схемы -отношенийиодной и той же арности.
- •Бестиповые направленные отношения.
- •Сигнатуры языков схем бестиповых-отношений.
- •Представление типизированных рекурсивных схем бестиповыми регулярными схемами.
- •Вычислительная полнота множества констант языка бестиповых регулярных схем -отношений основной универсальной сигнатуры.
- •Литература
- •Оглавление
- •12. Бестиповые направленные отношения. 33
- •51 F logol: язык и система функционально-логического программирования
Представление типизированных рекурсивных схем бестиповыми регулярными схемами.
Содержание этого параграфа составляет доказательство теоремы:
Теорема
1.12. Для
всякого множества
типизированных
-отношений
класс бестиповых регулярных относительно
-отношений
включает класс типизированных рекурсивных
относительно
-отношений.
Переформулируем
доказываемую теорему: для любой
типизированной рекурсивной схемы
существует
эквивалентная ей регулярная бестиповая
схема
,
т.е. такая, что
для всех интерпретаций
свободных переменных этих схем.
Лемма.
Для всякой типизированной рекурсивной
схемы
-отношений
существует эквивалентное представление,
не использующее вложенных вхождений
оператора рекурсии.
Для доказательства
леммы воспользуемся сетевой интерпретацией
типизированных рекурсивных схем.
Предположим, что исходная типизированная
рекурсивная схема задана в форме сетевой
КС-грамматики
,
причем сети – правые части правил не
имеют элементов сорта
.
Пусть
.
Определим семейство из
грамматик для всевозможных всюду
определенных на
предикатов:
(
обозначает тождественно истинный
предикат, а
– тождественно ложный). Пусть
,
,
(полагается, что
и все
для всех возможных
и
попарно
различны), для всех
,
а
Очевидно,
что для любой интерпретации
,
т.к.
– подмножество
с точностью до изоморфизма
и
.
Предположим, что
для каждого
элементы
некоторым образом упорядочены:
(здесь
– количество сортов
,
таких, что
).
Теперь можно определить грамматику
,
где
,
,
где сеть
показана на рис. 1.1. Очевидно, что
,
где
,
,
для всех
.
Наконец, определим
искомую грамматику
.
По
построению
очевидно, что
.Покажем,
что
для любой интерпретации
.
Действительно, для произвольной
интерпретации
выберем
,
такую, что для всех
,
где
– грамматика, полученная из
заменой аксиомы на
и, в нашем
случае, исключением в результате “чистки”
сорта
из
нетерминального базиса. Иными словами,
,
если интерпретация сетевого языка,
представленного нетерминальным сортом
в исходной
грамматике, для заданной интерпретации
терминальных сортов не есть пустое
-отношение,
и
– в противном случае. По построению
.
Нетрудно показать,
что если для всех
и всех
арности
– не пусто, то
.
Если мы воспользуемся этим утверждением
для случая
,
то получим, что
.
Для других
возможны
два варианта:
существует
, такой, что
и
. В этом случае найдется такое
, для которого
– пустое
-отношение, и, вследствие этого,
;
. В этом случае
.
Таким образом, для
всякого
Так как по грамматике
непосредственно восстанавливается
схема без вложенных вхождений оператора
рекурсии, то лемма доказана. Теперь для
доказательства Теоремы 1.12 достаточно
рассмотреть случай, когда заданная
типизированная рекурсивная схема
-отношений
имеет вид
,
где
– схема, при построении которой не
используется оператор рекурсии.
Пусть
,
и
имеют арность
и схема
задана
сетевой КС-грамматикой
,
где все правила из
имеют вид
,
,
а сети
имеют
элементов сорта
,
причем хотя бы одно
.
Далее полагаем, что
,
т.к. в других случаях решение тривиально,
поскольку тогда схема
,
по существу, не является рекурсивной.
На рис. 1.2 условно показан вид правил
грамматики
.
Преобразуем эту грамматику в грамматику
,
где
– новый нетерминальный сорт арности
,
с очевидным свойством:
.
Измененное правило для сорта
показано
на рис. 1.3, а вид правил
для сорта
в
преобразованной
грамматике изображен на рис. 1.4.
Согласно
рис. 1.3,
.
Далее, согласно рис. 1.4, проведем
последовательную декомпозицию сетей
для всех
:
.
Полагая, что
– схема, такая, что
,
получим два варианта нерекурсивного
описания
(арности
):
,
.
Окончательно получим
.
Теорема доказана.
Однако, открывается возможность ее
усиления: во втором варианте описания
параллельная итерация используется
только для построения специальной
комбинаторной константы
,
где
,
которая может быть включена в сигнатуру
языка регулярных бестиповых схем
-отношений
вместо операции параллельной итерации
и этого достаточно для получения
бестиповых схем, э
квивалентных
произвольным рекурсивным типизированным
схемам
-отношений.