2. Представление типизированных рекурсивных схем бестиповыми регулярными схемами.

Содержание этого параграфа составляет доказательство теоремы:

Теорема 1.12. Для всякого множества типизированных-отношений класс бестиповых регулярных относительно-отношений включает класс типизированных рекурсивных относительно -отношений.

Переформулируем доказываемую теорему: для любой типизированной рекурсивной схемы существует эквивалентная ей регулярная бестиповая схема , т.е. такая, что для всех интерпретаций свободных переменных этих схем.

Лемма. Для всякой типизированной рекурсивной схемы -отношений существует эквивалентное представление, не использующее вложенных вхождений оператора рекурсии.

Для доказательства леммы воспользуемся сетевой интерпретацией типизированных рекурсивных схем. Предположим, что исходная типизированная рекурсивная схема задана в форме сетевой КС-грамматики , причем сети – правые части правил не имеют элементов сорта. Пусть. Определим семейство изграмматик для всевозможных всюду определенных напредикатов:(обозначает тождественно истинный предикат, а– тождественно ложный). Пусть,,(полагается, чтои вседля всех возможныхи попарно различны), для всех , аОчевидно, что для любой интерпретации, т.к. – подмножествос точностью до изоморфизмаи.

Предположим, что для каждого элементынекоторым образом упорядочены:(здесь– количество сортов, таких, что). Теперь можно определить грамматику, где

,

,

где сеть показана на рис. 1.1. Очевидно, что

, где , , для всех .

Наконец, определим искомую грамматику .

По построениюочевидно, что.Покажем, что для любой интерпретации . Действительно, для произвольной интерпретациивыберем, такую, что для всех, где– грамматика, полученная иззаменой аксиомы на и, в нашем случае, исключением в результате “чистки” сорта из нетерминального базиса. Иными словами, , если интерпретация сетевого языка, представленного нетерминальным сортом в исходной грамматике, для заданной интерпретации терминальных сортов не есть пустое-отношение, и– в противном случае. По построению.

Нетрудно показать, что если для всех и всехарности – не пусто, то  . Если мы воспользуемся этим утверждением для случая , то получим, что. Для других возможны два варианта:

1. существует , такой, что и . В этом случае найдется такое, для которого – пустое -отношение, и, вследствие этого,;

2. . В этом случае .

Таким образом, для всякого 

Так как по грамматике непосредственно восстанавливается схема без вложенных вхождений оператора рекурсии, то лемма доказана. Теперь для доказательства Теоремы 1.12 достаточно рассмотреть случай, когда заданная типизированная рекурсивная схема-отношений имеет вид, где– схема, при построении которой не используется оператор рекурсии.

Пусть,и имеют арность и схема задана сетевой КС-грамматикой , где все правила изимеют вид,, а сетиимеютэлементов сорта, причем хотя бы одно. Далее полагаем, что, т.к. в других случаях решение тривиально, поскольку тогда схема, по существу, не является рекурсивной. На рис. 1.2 условно показан вид правил грамматики. Преобразуем эту грамматику в грамматику, где– новый нетерминальный сорт арности, с очевидным свойством:. Измененное правило для сорта показано на рис. 1.3, а вид правил для сорта в преобразованной грамматике изображен на рис. 1.4.

Согласно рис. 1.3,. Далее, согласно рис. 1.4, проведем последовательную декомпозицию сетейдля всех:. Полагая, что– схема, такая, что, получим два варианта нерекурсивного описания(арности):

1. ,

2. .

Окончательно получим

.

Теорема доказана. Однако, открывается возможность ее усиления: во втором варианте описания параллельная итерация используется только для построения специальной комбинаторной константы , где , которая может быть включена в сигнатуру языка регулярных бестиповых схем-отношений вместо операции параллельной итерации и этого достаточно для получения бестиповых схем, эквивалентных произвольным рекурсивным типизированным схемам-отношений.