11. Исчисления включения и эквивалентности схем -отношений.

В этом разделе мы рассмотрим формализацию таких фундаментальных взаимных свойств -отношений, каквключение и эквивалентность.

1. Отношения включения и эквивалентности схем -отношений.Рассмотрим схемы -отношенийиодной и той же арности.

Определение 1.9. Схема -отношенийвключает схему -отношенийв интерпретации, если. Схема -отношенийэквивалентна схеме -отношенийв интерпретации , если.

Определение 1.10. Схема включает схему в сильном смысле, если  для любой интерпретации переменных. Схемаэквивалентна схеме в сильном смысле, если  для любой интерпретации переменных.

Очевидно, отношение эквивалентности схем ивыполняется, если выполняются отношения включения междуив обе стороны. Отношения сильного включения и эквивалентности будем обозначать черези, соответственно.

2. Исчисление сильного включения ациклических схем -отношений. Ниже приведены аксиомы и правила вывода исчисления сильного включения, сокращенно обозначенного (), для языкаациклических схем-отношений.

В этом исчислении ,,, возможно, с индексами, обозначают произвольные схемы-отношений. Записьесть сокращение для пары схем аксиоми. Там, где не указаны арности схем-отношений, предполагается, что они могут быть любыми, при условии, что соблюдается правильность согласования арностей при построении соответствующих схем и формул исчисления.

Схемы аксиом :

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

Правила вывода:

П1.

П2.

Здесь – результат замены в схеменекоторого вхождения схемына схему.

Истинность аксиом и непротиворечивость правил вывода поддаются непосредственной проверке.

Теорема 1.11 . Исчисление полно на множестве схем-отношений языка(т.е. ) для всех схем . Доказательство этой теоремы будет дано в главе 2 (после введения сетевого представления схем-отношений).

3. Отношение включения рекурсивных схем -отношений. При формализации отношения включения для схем -отношений языка, т.е. построенных с использованием оператора наименьшей фиксированной точки, исчислениерасширяется добавлением аксиомы фиксированной точки и правила индукции:

31. (аксиома фиксированной точки),

П3. (правило индукции),

где – формула исчисления (т.е. формула видаили),– множество формул-посылок, не содержащих свободных вхождений переменной.

Однако, добавление этой аксиомы и правила вывода по индукции, несмотря на их теоретическую оправданность и практическую полезность, не приводит к построению исчисления включения -отношений, обладающего статусом полноты, что справедливо для. Более того, множество истинных формул сильного включения для класса рекурсивных схем-отношений не является рекурсивно-перечислимым.

4. Отношение сильного включения схем конструктивных -отношений. Множество элементарных констант в языках схем конструктивных -отношений состоят из символовконструкторов и символов деструкторов. Комбинаторные константы вводятся по определению.

Исчисление включения для схем конструктивных -отношений содержит аксиомы 1¸8, 18¸31 и аксиомы, определяющие свойства конструкторов:

32. , для всех .

33. , для всех и.

34. .

К правилам вывода присоединяется правило П4 вывода по контексту:

Нижеследующие утверждения (выводимые в этом исчислении) раскрывают другие важные свойства конструкторов ,

1. (функциональность конструктора ),

2. (функциональность деструктора ),

3. (тотальность конструктора ),

4. , (неунифицируемость различных конструкторов).

В практическом плане для доказательства включения схем конструктивных -отношений, вероятно, более полезным является другое правило индукции, которое выводимо из выше сформулированного правила П3:

П5.,

где , , ане входит свободно в.