9. Конструктивные -отношения.

В этом разделе вводится класс так называемых конструктивных -отношений. Для общего случая многосортного носителякаждоеопределяется как индуктивный класс объектов, построенный из некоторого конечного множества исходных объектов применением конечного числа операций к другим, уже построенным, объектам. Причем для всякогоможно сказать, является ли он исходным, а если это неверно, то применением какой единственной операции и к каким объектам он получен. Указанные операции будем называтьконструкторами. Очевидно, что всякий построенный таким образом класс объектов будет конструктивным и рекурсивно-перечислимым. Можно также показать, что введенные выше операции композиции -отно-шений обладают тем свойством, что, будучи примененными к рекурсивно-перечислимым-отношениям (-отношениям, графики которых рекурсивно перечислимы), они порождают также рекурсивно-перечислимые-отношения.

1. Определение класса конструктивных -отношений.Пусть задано множество символов конструкторов ,, и множествосимволов парных им деструкторов – операций, обратных конструкторам. C каждым конструктором(деструктором ) связана его арность (соответственно,),Без ограничений общности будем считать, что среди конструкторов существует хотя бы один-арный конструктор.

Конструкторы и деструкторы интерпретируются как -отношения, заданные на носителе– эрбрановском универсуме, определенном как индуктивный класс:

1) если , то, 2) если, и , то, 3) других элементов в, кроме определенных в п.1 и п.2, нет.

Положим

,

.

Определение 1.7. Класс -отношений, где, назовем классом-отношений, конструктивных относительно.

2. Основные результаты. Вначале докажем теорему о комбинаторной полноте .

Теорема 1.7. Комбинаторные константы: , , , , , , , , принадлежат .

Доказательство:

,

,

,



,



,



,

,

,

.

Теорема 1.8. График любого -отношения, принадлежащего , рекурсивно перечислим.

Доказательство этой теоремы является простым следствием рассматриваемых в главе 4 моделей вычислений -отношений.

Теорема 1.9. Любая рекурсивная функция представима в , если множество конструкторов содержит хотя бы один-арный конструктор, такой, что.

Доказательство. Пусть 1) , 2) если, то, иначе. Тогда, очевидно,-отношение представляет множество натуральных чисел при соглашении, что константа представляет ноль, а,,… соответствуют единице, двойке и т.д. Таким образом, константаи функция прибавления(интерпретант конструктора) выразимы в. Базисные рекурсивные функции выбора аргумента представляются как комбинаторные-отношения – проекции на соответствующую координату (см. 1.6).

-Арная функция ,, полученная оператором суперпозиции:представляется вкак-арное-отношениеследующим образом:, где–-отношения, представляющие функции, соответственно.

-Арная функция ,, полученная оператором примитивной рекурсии имеет следующее представление в :.

-Арная функция ,, полученная оператором минимизации: наименьшее ,такое, что , представляется втак: .

10. Иерархия классов -отношений.

Пусть – некоторое множество исходных или базисных-отношений на носителе.

Определение 1.8. назовем классомрекурсивных относительно -отношений,, где, назовем классомрегулярных (итеративных) относительно -отношений,назовем классомациклических относительно -отношений,назовем классомпростых относительно -отношений.

Возвращаясь к замечанию в 1.2 об альтернативной возможности введения в языки схем -отношений оператора наименьшей фиксированной точки, заметим, что любое регулярное относительно-отношение может быть получено как компонент минимального решения системы уравнений:

для всех ,

где все и– простые относительно-отношения.

Теорема 1.10. Перечисленные в определении 1.7 классы -отношений образуют систему вложенных (в том же порядке) классов-отношений для любого множествабазисных-отношений.