Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ 1

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ. 3

1. Основные понятия. 3

2. Свойства -отношений. 4

Многие виды семантических объектов в конструктивной математике вообще и в теории программирования, в частности, могут рассматриваться как специальные подклассы направленных отношений, различающиеся как арностью -отношений, так и наличием у них особых свойств. В качестве основных таких свойств рассмотрим свойства тотальности и функциональности -отношений. 4

\Утверждение 5

3. Языки схем -отношений. 6

4. Классы -отношений. 8

5. Операции композиции -отношений. 10

6. Комбинаторные -отношения. 13

7. Дефинициональные расширения. 16

8. Основные сигнатуры. 19

Помимо сигнатуры , определим также как основные: сигнатуру , и производные от них сигнатуры и , полученные исключением константы  и добавлением константы к и , если в соответствующем языке не используется оператор рекурсии. 19

9. Конструктивные -отношения. 21

1.9.1. Определение класса конструктивных -отношений. Пусть задано множество символов конструкторов , , и множество символов парных им деструкторов – операций, обратных конструкторам. C каждым конструктором (деструктором ) связана его арность (соответственно, ), Без ограничений общности будем считать, что среди конструкторов существует хотя бы один -арный конструктор . 22

1.9.2. Основные результаты. Вначале докажем теорему о комбинаторной полноте . 23

10. Иерархия классов -отношений. 26

11. Исчисления включения и эквивалентности схем -отношений. 28

1.11.1. Отношения включения и эквивалентности схем -отношений. Рассмотрим схемы -отношений и одной и той же арности. 28

1.11.2. Исчисление сильного включения ациклических схем -отношений. Ниже приведены аксиомы и правила вывода исчисления сильного включения, сокращенно обозначенного (), для языка ациклических схем -отношений. 29

1.11.3. Отношение включения рекурсивных схем -отношений. При формализации отношения включения для схем -отношений языка , т.е. построенных с использованием оператора наименьшей фиксированной точки, исчисление расширяется добавлением аксиомы фиксированной точки и правила индукции: 31

1.11.4. Отношение сильного включения схем конструктивных -отношений. Множество элементарных констант в языках схем конструктивных -отношений состоят из символов конструкторов и символов деструкторов . Комбинаторные константы вводятся по определению. 32

12. Бестиповые направленные отношения. 33

1. Сигнатуры языков схем бестиповых -отношений. 33

2. Представление типизированных рекурсивных схем бестиповыми регулярными схемами. 37

3. Вычислительная полнота множества констант языка бестиповых регулярных схем -отношений основной универсальной сигнатуры. 44

ЛИТЕРАТУРА 49

1Знак обозначает логическую эквивалентность.

2Символ означает, что наличие соответствующего свойства автома-тически следует из арности -отношения.

3 Здесь и далее мы предполагаем следующий порядок убывания приоритета операций композиции: что позволяет опускать некоторые скобки в задании схем-отношений.

4 Здесь и далее мы не будем, если это не приводит к недоразумениям, различать обозначения констант (символов языков) и соответствующих -отно-шений (денотатов этих констант).

5 Хотя в определении этих -отношений участвует носитель, мы не отражаем его в изображении соответствующих констант, полагая, чтоизвестен из контекста.