Брошюра FLOGOL-1

на множестве (носителе)

D называет-

d -отношением) арности n ,n

ся график соответствия из

Dn

в

Dn .

Здесь

Dn

– множество всевозможных кортежей элементов множества

D

длины

n .

Иными словами, направленное отношение

R

арности

D (точнее, его график) есть множество упорядочен-

n , n на носителе

назовем

ных пар вида d1...dn ,d1...dn ,

где все di ,di D . Кортеж d1...dn

входным, а кортеж

d1...dn – выходным для соответствующего элемента d -

отношения

R . Кортеж нулевой длины (пустой кортеж) обозначается , а

( Dn' ( Dn" & , R)).

О п р е д е л е н и е 1.3.

d -Отношение R на

D называется функциональным, если

' "( , ' R& , " R ' ") .

В таблице 1.1 дана классификация типизированных

d -отношений в

зависимости от их арностей, наличия у них свойств функциональности ( F )

и тоталь-

ности ( T ), а также наличия этих свойств у обратных им отношений.

О п р е д е л е н и е 1.4. d -Отношение R 1

называется обратным d -отно-

шению R , если (( , ) R ( , ) R 1 ).1

Таблица 1.1

Арность,

d -Отношение R

F( R)

T( R)

F( R 1 )

T( R 1 )

n ,n 0

\Утверждение

0,0

2

Объект

0,1

+

Множество объектов

0,1

Кортеж

+

0,n

Множество кортежей

0,n

Свойство объекта

1,0

Предикат

n ,0

Перестановка

1,1

+

+

+

+

Вложение

1,1

+

+

+

Подстановка (тотальная)

1,1

+

+

Частичная подстановка

1,1

+

Переход

1,1

1,1

Суперконструктор

n

+

+

+

+

Конструктор

n ,1

+

+

+

1,1

Функция (тотальная)

n

+

+

1,1

Частичная функция

n

+

1

Суперреконструктор

n

1,n

+

+

+

+

1

Реконструктор

n

1,n

+

+

+

Отображение (тоталь-

1

+

+

ное)

n

1,n

1

Частичное отображение

n

1,n

+

Заметим, что существуют всего два «логических»

d -отношения ар-

ности 0,0 : пустое (пустое подмножество пар пустых кортежей) и

{ , }

1) область интерпретации

RD RDn ,n

( RDn ,n – множество всевоз-

n ,n 0

можных d -отношений на D

арности

) задается уточнением но-

n , n

сителя D ;

2) множество

X

переменных d -отношений содержит неограниченное

количество переменных арности n ,n

для всех

n ,n

0 ;

3) множество

K

элементарных констант содержит имена некоторых

конкретных d -отношений на

D . Денотат константы

k K будем обо-

значать k ;

4) каждой связке

f (l ) из множества связок

F

сопоставлена, в общем

случае, частичная функция

f (l ) : (RD )l RD

в области интерпретации

ем связки f (l ) к схемам A ,...,A , будем обозначать fA ...A (если не идет

1

l

1 l

речь о конкретных связках конкретных языков);

5) в рассматриваемом классе языков схем

d -отношений допускается

ме A

по операторной переменной x той же арности обозначается

{x A}.

В нeкоторых случаях используется альтернативная возможность

применения m -арно- m -арных (для любых

m 0 ) операторов наимень-

шей фиксированной точки, применение которых к схемам A1 ,...,Am

и опе-

раторным переменным x1 ,...,xm обозначается

{x1 A1 ,...,xm Am } , причем

в этом случае предполагается, что при построении схем A1 ,...,Am

опера-

ременных

: X RD , причем

x n ,n RDn ,n . Индуцированную

интерпретацию схем языка A обозначим через

и определим так:

1.

k k

для всех

k K ;

2.

x x для всех

x X ;

3.

f (l ) A ...A

f (

A ,...,

A

l

)

для всех f F ;

1

l

1

4.

{x A}

min

– минимальное решение уравнения

x A

в ин-

X

терпретации, индуцированной .

называется решением уравнения

x A

в интерпретации, индуци-

X

рованной

, если

' A , где

' x

и ' y y

для

X

X

всех

y ,

отличных

от

x .

Минимальное

(относительно теоретико-

множественного

включения) решение

X min

удовлетворяет условию

min

X

X

для всех других решений X

того же уравнения в той же ин-

терпретации.

Следуя принципам конструктивности, мы ограничимся рассмотрени-

ем случая, когда все функции

f – интерпретанты связок

f F языка

A монотонны относительно включения

d -отношений как графиков. Из-

вестно,

что при этом условии для любого уравнения

x A минимальное

решение

существует,

и

оно

является

пределом

последовательности

(0) ,

(1) ,...,

(i) ,... при i ,

где

(0) – пустое d -отношение,

X

X

X

X

(i 1)

A , где ' x

(i)

и ' y y для всех y , отлич-

X

'

X

Пару

(K, F)

назовем сигнатурой языка схем

d -отношений.

Язык с сигнатурой будем обозначать

A

или A , в зависимости от

того, используется или нет при его построении оператор рекурсии.

Множество FV ( A)

свободных переменных схемы

A определяется

обычным образом:

FV (k) для всех

k K ;

FV (x) {x}

для всех

x X ;

FV ( f (l ) A ...A ) FV (A ) ... FV (A )

для всех f F ;

1

l

1

l

FV({x A}) FV (A) \ {x}.

Схема, множество свободных переменных которой пусто, называется

константой языка. Обозначим через K (A )

множество

d -отношений –

денотатов констант языка

A .

Пусть

R Dбаз – подмножество d -отношений из R D , которые могут вы-

ступать в качестве интерпретантов переменных языка

A ? ( ? { , }).

О п р е д е л е н и е 1.5 .

[R баз ] ? {

A | A A

? &( x X ) x R баз }

–

класс

d -

D

D

перестановка

на носителе

D для присоединенных функций связок яв-

ляется автоморфизмом, то есть для

справедливо утверждение

( f F) x ,...,x . ( f (l ) (x ,...,x )) x ,..., x . f (l ) ( (x ),..., (x )), где

1

l

1

l

1

l

1

l

: D D распространяется на

d -отношения общепринятым образом.

композиция d -отношений R1 и R2

обозначается через

R1 R2

и опре-

деляется как произведение графиков

R1 и R2 :

R1 R2

{ , | ( , R1 & , R2 )}.

Если

R1

и R2 –

d -отношения арностей

и

, соот-

n ,n

n,n

ветственно, то

R1 R2

– d -отношение арности

. Операция после-

n ,n

довательной композиции ассоциативна.

Операция параллельной композиции

d -отношений. Параллельная компо-

зиция d -отношений R1 и R2 обозначается через R1 # R2

и определяется

как раздельное декартово произведение компонентов графиков R1

и R2 :

R1 # R2 { 1 2 , 1 2 | 1 , 1 R1 & 2 , 2 R2 }.

Если R1

и R2

– типизированные

d -отношения арности

n'1 , n"1 )

и

R1 # R2

–

n2 , n2 , то

d -отношение арности n1 n2

,n1 n2 . Операция

параллельной композиции ассоциативна.

Операция объединения

d -отношений. Объединение

d -отношений R1

и

R2

обозначается

через

R1 R2

и

определяется

как

теоретико-

множественное объединение

d -отношений

R1 и R2

как графиков.

Для объединения требуется равенство арностей

d -отношений R1

и

R2 , причем результат объединения будет иметь ту же самую арность. Опе-

рация объединения ассоциативна и коммутативна.

Операция пересечения

d -отношений. Пересечение

d -отношений R1

и

R2

обозначается

через

R1 R2

и

определяется

как

теоретико-

множественное пересечение

d -отношений

R1 и R2

как графиков.

Для пересечения также требуется равенство арностей d -отношений

R1

и R2 , причем результат пересечения имеет ту же самую арность. Опе-

рация пересечения ассоциативна и коммутативна.

Операция конкатенации. Конкатенация

d -отношений R1

и

R2 опреде-

n, n2 ,

соответственно. Результат операции

будет иметь

арность

n,n1 n2

.

Операция эквализации (унификации). Эквализация

d -отношений

R1 и R2

R1 R2 { 1 2 , | 1 , R1 & 2 , R2 }.

Эквализация определена только для операндов арностей

n1 ,n

и

n2 , n . Результат операции будет иметь арность n1 n2 ,n .

Условная композиция. Условная композиция d -отношений R1

и R2 обо-

значается знаком и представляет собой проекцию R2

по первому

компоненту графика на область определения d -отношения R1 :

R1 R2 { , | , R2 & '( , ' R1 )}.

Арности операндов условной композиции должны быть

n,n1

и

второго операнда.

Операция итерации. Итерация d -отношения R n,n

обозначается

{R} и

определяется так:

{R} R(k )

, где

R(0)

{ , | Dn } (тождественное

d -отношение

k 0

арности

n,n ), R(1) R и R(i 1) R(i) R .3

Очевидно, что итерация

{R} d -отношения R

является наименьшим

решением уравнения

x R(0)

R x , т.е. {R} {x R(0)

R x}.

Результат

применения

итерации будет иметь

ту

же

арность

n,n , n 0, что и ее операнд.

Операция повторения. Повторение d -отношения

R n,n

обозначается

[R] и определяется так: