Брошюра FLOGOL-1

ний вида xi

A'i ,i 0..k , такой, что

A'i – результат замены в

Ai каждого

внешнего (т.е. не являющегося частью другого входящего в Ai

оператора)

вхождения в нее оператора

{xi Ai }

на соответствующую операторную

переменную

xi . Очевидно, что для любой интерпретации

свободных

переменных значение переменной

x0

в минимальном решении этой си-

стемы уравнений в интерпретации

A .

Пусть,

наоборот, теперь задана

система

уравнений вида

xi Ai ,

i 0.. k, где переменная x0

представляет интересующую нас схему

A d -

каждая новая система уравнений будет иметь вид

xi Ai( j 1) , i 0.. j 1,

где

Ai( j 1) [{x j Aj ( j ) } / x j ] Ai( j ) (результат

подстановки схемы

{x j

Aj ( j ) } в правые части первых ( j 1) уравнений системы вместо всех

3

Здесь и далее мы предполагаем следующий порядок убывания приоритета

О п р е д е л е н и е 1.6 . d -отношение R

называется комбинаторным, ес-

ли оно является фиксированной точкой

для любой перестановки

на

носителе

D : (R) R для любого всюду определенного на

D взаимно-

однозначного отображения

. Класс комбинаторных

d -отношений на

носителе

D обозначим R к , полагая, что сам носитель ясен из контекста

(фактически нас интересует только его мощность).

Т е о р е м а 1.1. Всякое комбинаторное

d -отношение

R Rк

арности

определяется множеством Com пар Eq, Dif , где

Eq – не-

n , n

ин-

которое отношение эквивалентности на множестве Ind 1..(n

n )

дексов, а

Dif – множество ребер графа на факторе множества

Ind

по от-

ношению

Eq ( Dif (Ind /

Eq){2} ):

R

{ 1... n' , n' 1... n' n" | ( i Ind) i D &

( Eq,Dif ) Com

( i, j Ind)((Eq(i, j) i j ) & ({i / Eq, j / Eq} Dif

i

j ))}.

n

1) тождественные n, n -арные,

n 0 , d -отношения

{ , |

Dn }. Очевидно, что

n

– правая и левая единица операции последо-

n'

n"

вательной композиции

d -отношений: R n',n" R R

;

0

0

2)

{ , }. – правая и левая единица операции парал-

лельной композиции: # R R R# ;

n

n

.

3) пустые n , n

-арные d -отношения, n ,n

0, обозначаются

n n – правые и левые единицы для операции объединения

d -отношений:

n' n" R n ,n R R n n ;

4) универсальные n ,n

-арные

d -отношения, n ,n

0, обозначают-

ся n n . n n

– правые и левые единицы для операции пересечения

d -

отношений:

n n R n ,n R R n n

Т е о р е м а 1.2. Количество различных комбинаторных

d -отношений ко-

нечно для любой арности n ,n

, n ,n

0 .

Выделим в множестве простых комбинаторных d -отношений следу-

ющее подмножество R кпэ

элементарных d -отношений:

Т е о р е м а 1.3. R кп K (A

) , где

00

(R кпэ ,{ ,#}) .

00

Т е о р е м а 1.4. R к K (A

) , где

0

(R кпэ ,{ ,#, }).

0

Комбинаторные d -отношения из

R кпэ являются независимыми по

ся никаких ограничений на мощность

N носителя D . Однако, например,

при

N 0 класс

d -отношений на

D

включает только

и пустые

d -отношения

n

n

для всех

0

, и поэтому

1

0

,

0

1

n ,n

,

1 2 ,

2 1 , 1 1

, 2 2 . Напротив, для

N 0

не

является

независимой

константой: .

Константа

эквивалентна 1 1

для

N 2 ,

для

N 2 и

1 1

(см.1.6) для

N 2 .

жем,

например, каким образом через элементарные комбинаторные d -

отношения из

R кпэ

с помощью операций композиции могут быть опреде-

лены

аналогичные

им комбинаторные d -отношения любой арности

0.

n , n

, n ,n

Пусть

n 0.

Определим сначала тождественное

n, n -арное

d -

n

0

n 1

n

отношение

: a)

, b)

# ,

где

.

n

n

d -Отношения

{ , | Dn }

и { , | Dn }

определим так:

0

0

n 1

n

n 1

n

, # ,

# .

Универсальное

d -отношение

n ,n -арное

n

n

{

| ' D

n

&

D

n

}

определяется

так:

,

n

n

n

n

.

n

n

1)

0 n n 0

, n 1 n

( # 1 n ) ( n n # ) ,

n

1 n 1 (1 n # ) ( # ) ;

0

n 1

n

n

2)

, ( # ) ( # n 1 # ) ,

0

n 1

n

n

3)

, ( # 1

n # ) ( # ) ,

0

n 1

n

4)

n n

#

# .

Нижеследующее дефинициональное расширение определяет

n,1 -

арное комбинаторное

d -отношение выделения

i -го компонента кортежа:

|n

i 1

n i

# #

.

i

Обратное ему отношение обозначается так:

n |

1

.

|n

i

i

Константа

n

n

0

d -отношение

арности

, n ,n

) определяется

через пустое

(0,0) -арное

d -отношение

n , n

: n

n

n

n

, причем

и-

нимальное решение уравнения

{x x} , где

x

имеет арность

(0,0) .

может

быть выражено

и

без

применения

оператора

рекурсии:

для

пустого

носителя

и

(

#

) , в противном случае.

1 ({ , ,

, ,

}, { , #, , }), и производные от них сигна-

'

'

, полученные исключением константы

и добавле-

туры 0 и

1

нием константы к 0

и 1 , если в соответствующем языке не исполь-

зуется оператор рекурсии.

Т е о р е м а

1.5 .[R баз ] ? [R баз ] ? и

[R баз ]

?

[R баз ]

?

для

? { , }.

D

0

D

1

D

'0

D

'1

Доказательство:

1. Переход от

0 к

1 :

?

?

a) очевидно, что R1 R2 (R1 # R2 ) для любых d -

отношений R1 , R2 (здесь и далее ?

может использоваться при изображе-

n

n

нение могло быть таким: R(n ,n ) R(n ,n ) (R # R ) );

1

2

1

2

b) константа выражается в 0

так: . Таким об-

разом, все компоненты сигнатуры 1 выразимы в

0 .

2. Переход от 1 к 0 :

( # ) ( # ) ,

( # ) ( # ) ,

?

?

R1 R2

(R1 # R2 ) ,

n

n

n

n

n

n

n

n

R 1 ( #

) (

# R #

) (

#

) .

{R 1 | R [{R ,...,R }] ?

} [{(R ) 1,..., (R ) 1}] ? .

1

k

0

1

k

0

Доказательство

осуществляется

определением отображения

Inv :

A ?0

A ?0

, применяемого к схемам индукцией по синтаксической слож-

ности. Пусть : X X – взаимно-однозначное отображение на множе-

стве переменных, такое, что для всех

x X

арности

(x)

тоже

n , n

:

имеет арность n , n

1) для базисных комбинаторных констант сигнатуры

0 :

Inv( ) ,

Inv( ) , Inv( ) ,

Inv( ) ,

Inv( ) , Inv( ) ,

Очевидно, что для всякого R

E

'

Inv (E) R 1

, где для

всех x X

' (x) ( x ) 1 . Применяя те же построения в обрат-

также рекурсивно-перечислимые

d -отношения.

1.9.1. Определение класса конструктивных

d -отношений. Пусть зада-

но множество символов конструкторов С {ci

| i 0..k},

k 0 ,

и множе-

ство C

символов парных им деструкторов –

операций, обратных кон-

структорам. C каждым конструктором

ci

(деструктором

ci ) связана его

арность

ni ,1 (соответственно,

1, ni

),

ni 0. Без ограничений общно-

сти будем считать,

что среди конструкторов

существует хотя бы один

(0,1) -арный конструктор

c0 .

Конструкторы и деструкторы интерпретируются как

d -отношения,

заданные на носителе D э

– эрбрановском универсуме, определенном как

C

индуктивный класс:

1) если

n 0 , то

c Dэ

, 2) если ,

2

,...,

n

Dэ ,

c C

и n 0 ,

i

i

C

1

C

i

i

i

то c

...

n

Dэ

, 3) других элементов в

D э

, кроме определенных в п.1

1 2

C

C

i

и п.2, нет.

Положим

c {

...

n

,c

...

n

|

j

Dэ

, j 1..n }

,

i

1 2

i 1 2

C

i

i

i

c { c

...

n

,

...

n

|

j

Dэ

, j 1..n }.

i

i 1 2

1 2

C

i

i

i

О п р е д е л е н и е 1.7. Класс

d -отношений R

C

K (A

) , где

C

(C

C

,{ , #, }), назовем классом

d -отношений, конструктивных относитель-

С

но C .

Т е о р е м а 1.7. Комбинаторные константы: ,

,

,

,

,

{x

((x#...#x) ci )},

ci C

n раз

i

{x

(сi (x#...#x))},

ci C

ni раз

(сi

сi ) ,

ci C

{x ((ci #

ni 1

ni 2

) ( # x ) ( # x # ) ...

ci C

ni 2

ni 1

... ( # x #

) ( x # ) ( # ci ))} ,

{x (сi (x#...#x) ( #

2

#... # # ) ( # # ...

ci C

ni раз

2

ni 1

ni 1

# # ) ... ( # ) (ci #ci ))}

,

ni 1

ni 1

ni 2

ni 2

{x ((сi #ci ) ( # )

(

# # )

...