Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теория программирования

Файл:

Брошюра FLOGOL-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ


	Пусть	A – бестиповая схема d -отношений, – интерпретация ее


свободных переменных. Обозначим как A m,n				схему арности m,n ,

такую, что			A m,n { , \| ,	A & Dm & Dn }.

Тогда для операций основной универсальной сигнатуры получим:

m,n

;

( A

A )

m,n

m ,n

;

( A # A )

# A

m m m

n n n

m,n

(m,k )

;

( A

A )

k 0..

{x A} m,n (

min ) m,n ,

где

–

минимальное решение

X min

x A

m,n

уравнения

при интерпретации

, а

X min

, где

X min

m,n 0..

m,n

– соответствующий компонент минимального решения системы

min

уравнений {x m,n

A m,n |

m,n 0..} при интерпретации

Элементарные комбинаторные константы являются типизированны-

ми, и их интерпретация остается прежней.

Основной проблемой, не дающей непосредственной возможности ис-

пользовать сетевое представление схем d-отношений, определяемое с по-

мощью контекстно-свободных сетевых грамматик, является то, что мини-

мальное решение уравнения x A, в общем случае, может потребовать

для своего выражения неограниченного количества компонентов X m,n

min

различных арностей. В языке FLOGOL принят, в определенном смысле,

альтернативный подход к заданию d -отношений:

все определяемые отношения являются типизированными,

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 31

1.ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

одно определение связано с одним идентификатором,

с каждым идентификатором ассоциируется любое количество имен d -

отношений («экземпляров») – индексированных копий этого идентифи-

катора (индексы не обязательно выражают арность соответствующего d -отноше-ния, и число их может быть любым),

ответственность за то, что, в общем случае, рекурсивное определение

любого экземпляра потребует конечного числа «экземпляров» d -

отношений для каждого идентификатора, возлагается на программиста.

В этой главе мы остановимся только на результатах, характеризую-

щих выразительную силу языка схем бестиповых d -отношений относи-

тельно языков схем типизированных d -отношений (раздел 1.12.2) и отно-

сительно универсальных моделей вычислений (раздел 1.12.3), последнее – на примере класса челночных алгорифмов.

1.12.2.Представление типизированных рекурсивных схем бестипо-

выми регулярными схемами.

Содержание этого параграфа составляет доказательство теоремы:

Т е о р е м а	1.12.	Для всякого множества	R Dбаз типизированных		d -

отношений	класс	бестиповых регулярных	относительно	R Dбаз	d -

отношений включает класс типизированных рекурсивных относительно

R Dбаз d -отношений.

Переформулируем доказываемую теорему: для любой типизирован-

ной рекурсивной схемы Aрек существует эквивалентная ей регулярная бестиповая схема Aрег , т.е. такая, что Aрек Aрег для всех ин-

терпретаций свободных переменных этих схем.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 32

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

Л е м м а . Для всякой типизированной рекурсивной схемы d -отношений

существует эквивалентное представление, не использующее вложенных вхождений оператора рекурсии.

Для доказательства леммы воспользуемся сетевой интерпретацией ти-

пизированных рекурсивных схем. Предположим, что исходная типизиро-

ванная рекурсивная схема задана в форме сетевой КС-грамматики

G Bт , Bн ,a, P , причем сети – правые части правил не имеют элементов

сорта

a . Пусть

B B {a},a B . Определим семейство из

2|B | грамма-

тик

для

всевозможных

всюду

определенных на

предикатов:

: B {t, f }

( t

обозначает тождественно истинный предикат, а f –

тождественно ложный). Пусть

G( ) B , B( ) , a, P ( ) , B( )

{a} B( ) ,

т н

B( )

{b( ) | b B & (b) t} (полагается, что

a и все

b( ) для всех воз-

можных

b B

попарно

различны), для

всех

b( ) B( )

( )

), (b

) (b), (b)

P ( )

[b( ) / b | b B]{b S | (b S) P & (сеть S не имеет элементов сортов

из множества B \ B( ) )}.

Очевидно, что для любой интерпретации

S (G( ) ) S (G( t ) ) S (G) , т.к.

P ( )

– подмножество

P с точностью до изоморфизма

B( ) и

B .

Предположим, что для каждого

элементы B( )

некоторым обра-

зом

упорядочены:

B( ) {b( )

,...,b( )

}

(здесь

k( ) – количество сортов

k ( )

b B ,

таких,

что

(b) t ).

Теперь можно определить

грамматику

G( )

B ,{a,b( ) },a,

P ( ) , где

k ( )

, (b( ) )

(bi( ) )

i 1

k ( )

(b( ) ) (bi( ) ) ,

i 1

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 33

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

( ) [S ( ) / b( ) | j 1..k( )](P ( ) {b( ) S # S

#...#S

k ( )

( j 1..k( ))(b( ) S

)})

S ( ) показана на рис. 1.1. Очевидно, что

S ( )

где сеть

( #... #

j 1

k ( )

j 1

# # # ... # ) S1b( ) ( # ... # # # #...

k ( )

(b(j ) ) , m j (b(j ) ) , для всех

# ) , где m j

j 1.. k( ) .

Наконец, определим искомую грамматику

Bт ,{a}

( )

по всем

a, P ( ) .

по вcем

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 34

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

b( ) 1

i 1

k( )

Рис. 1.1. Сеть S ( ) .

По построению G

очевидно, что

S (G

( )

) .Покажем, что

S (G )

по вcем

для любой интерпретации

. Действительно, для

S (G ) S (G)

произвольной интерпретации

выберем ,

такую, что для всех b B

S (G ) ) ,

где

G B , B,b, P –

(b) ( d ,d

D*)( d ,d

грамматика, полученная из

G заменой аксиомы на

b и, в нашем случае,

исключением в результате “чистки” сорта a

из нетерминального базиса.

Иными словами,

(b) t ,

если интерпретация сетевого языка, представ-

ленного нетерминальным сортом

b в исходной грамматике, для заданной

интерпретации

терминальных сортов не есть пустое

d -отношение, и

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 35

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

(b) f

–

противном

случае.

По

построению

S (G) S (G

( )

) .

Нетрудно показать, что если для всех

j 1.. k( ) и всех

S j

арности

)

– не

пусто,

то

[S #...#S

/ b

( )

k ( )

. Если мы воспользуемся этим

утверждением для случая

, то

получим, что

S (G

( )

) S (G

( )

) . Для других

возмож-

ны два варианта:

1) существует

b B ,

и (b) f . В этом случае

такой, что (b)

найдется такое j ,

для которого

– пустое

d -отношение, и,

вследствие этого, S (G( ) ) S (G( f ) ) ;

							. В этом случае S (G			( )	)		S (G		( )			.
2)						(b)				( )							)
2)	( b B) (b)					(b)											)


								всякого								( )		)
		Таким образом, для							S (G )					S (G
		Таким образом, для							S (G )					S (G
												по всем

	S (G		( )	)	S (G)
	S (G			)	S (G)

Так как по грамматике G непосредственно восстанавливается схема

без вложенных вхождений оператора рекурсии, то лемма доказана. Теперь для доказательства Теоремы 1.12 достаточно рассмотреть случай, когда заданная типизированная рекурсивная схема d -отношений имеет вид

Aрек {x A}, где A – схема, при построении которой не используется

оператор рекурсии.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 36

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

	Пусть x , A и Aрек		имеют арность	m,n и схема A	задана се-

тевой КС-грамматикой			G Bт ,{x}, x, P , где все правила из		P имеют

вид x S j ,		j 1.. k , а сети S j имеют l j		0 элементов сорта	x , причем

хотя бы одно		l j 0 . Далее полагаем, что		k 1, т.к. в других случаях ре-

шение тривиально, поскольку тогда схема A , по существу, не является ре-

курсивной. На рис. 1.2 условно показан вид правил грамматики G . Преоб-


разуем эту грамматику в грамматику		Bт ,{x, y}, x, P	, где y	– но-
разуем эту грамматику в грамматику	G	Bт ,{x, y}, x, P	, где y	– но-

вый нетерминальный сорт арности	m n,0 , с очевидным свойством:

S (G ) S (G) . Измененное правило для сорта x показано на рис. 1.3, а вид

правил y S j для сорта y в преобразованной грамматике изображен на

рис. 1.4.

n'	y
n'
n'
n"
Q i
n'	y
n'
n"
n"

Рис. 1.2. Общий вид правила грамматики G .

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 37

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

		m	n	n	n
	Согласно	рис. 1.3, x ( #	) ( y # ) .			Далее,		со-

гласно рис. 1.4, проведем последовательную декомпозицию сетей							S j	для

всех j 1.. k :		S j S j ( y #...# y) . Полагая,		что	Aj – схема, такая,			что

Aj S j , получим два варианта нерекурсивного описания						y	(арности

m n,0 ):

x	n'	y
		y

	n"

Рис. 1.3. Измененное правило для сорта x .

m n

( Aj )# ,

j 1

m n

y (( ) # # Aj ) .

j 1

Окончательно получим

Aрег ( # )

(( Aj )#

# ) ( # )

j 1

((( )# # Aj ) # ) .

j 1

Теорема доказана. Однако, открывается возможность ее усиления: во вто-

ром варианте описания y параллельная итерация используется только для построения специальной комбинаторной константы ( )# , где

( )# { , | D*}, которая может быть включена в сигнату-

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 38

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

ру языка регулярных бестиповых схем d -отношений вместо операции па-

раллельной итерации и этого достаточно для получения бестиповых схем,

эквивалентных произвольным рекурсивным типизированным схемам d -

отношений.

n'	y
n'
n'
n"

n'	y
n'
n"
n"

Рис. 1.4. Вид правил для сорта y в преобразованной грамматике.

1.12.3.Вычислительная полнота множества констант языка бести-

повых регулярных схем d -отношений основной универсальной сиг-

натуры.

Результат получен в форме теоремы:

Т е о р е м а 1 .13. Любая вычислимая функция F : A* A* представима

(с точностью до кодирования) множеством констант бестипового регуляр-

ного языка схем d -отношений при условии его интерпретации на любом носителе D мощности | D | 1.

	Cогласно тезису А.А.Маркова, существует вычисляющий				F	нор-

мальный алгорифм F : для всех				, то	B	– ре-
мальный алгорифм F : для всех		B , B	A *, если F(B ) B	, то	B	– ре-

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 39

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НАПРАВЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

зультат применения

не при-

; если F (B ) не определено, то

меним к B . Не ограничивая общности, можно считать, что

– челноч-

ный алгорифм с множеством

«челноков»: правосторонних

левосторонних

j ,

j 0.. , причем подстановки в схемах челночных

алгорифмов имеют вид:

(последняя подстановка в схеме),

(заключительная подстановка),

, для

0.. .

j , j

Преобразуем челночный алгорифм так, что для исходных челноков

подстановки с левыми частями вида j и j применимы только

в случаях, когда челнок является первой или, соответственно, последней буквой в слове. С этой целью для каждого правостороннего челнока

j (для левосторонних челноков построения, с учетом ориентации,

				j
аналогичны) введем дополнительно подстановки			a j a			для

всех a , таких, что в исходной		схеме не было		подстановки		вида

j	( и далее для этих	a полагаем	B j		a ), и под-
a B j
a			a		j

j	j – новый левосторонний челнок. Если
становку j , где

в схеме была подстановка B j , то заменим ее на подстановку
		j


B		j . Эквивалентность полученной схемы подстановок исходной
j

очевидна.

	Пусть	A – алфавит с нумерованными буквами, i(a) 1.. – номер бук-


вы a A;		D – носитель, \| D \| 1, , D – два произвольно выбранных

элемента носителя, .

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория программирования

#
28.06.2014814.59 Кб15FALGOL.doc
#
28.06.2014923.8 Кб13FLOGOL IDE (отчёт).pdf
#
28.06.20141.28 Mб18Брошюра FLOGOL-1.pdf
#
28.06.20141.25 Mб15Брошюра FLOGOL-2.pdf
#
28.06.20141.06 Mб25Сетевой логический вывод.pdf
#
28.06.2014971.45 Кб21Часть 4. Язык функционально-логического программирования FLOGOL.pdf
#
28.06.2014721.37 Кб18Часть 5. S-FLOGOL-система функционально-логического программирования.pdf
#
28.06.201422.45 Кб16Экзаменационные вопросы (2013).docx