Глава VI. Логические основы теории аргументации 20 3

Парадоксы множеств

^{В. письме Готтлобу Фреге от 16 июня г. Бертран Рассел сообщил} о том, что он обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента).

Примерами таких парадоксов (противоречий) являются «Каталог всех нормальных каталогов», «Мэр города», «Генерал и брадобрей» и др.

Парадокс, называемый «Мэр города», состоит в следующем: каждый мэр города живет или в своем городе, или вне его. Был издан приказ о выделе- нии одного специального города, где жили бы только мэры, не живущие в своем городе. Где должен жить мэр этого специального города? а). Если он хочет жить в своем городе, то он не может этого сделать, так как там жи- вут только мэры, не живущие в своем городе, б). Если же он не хочет жить в своем городе, то, как и все мэры, не живущие в своих городах, должен жить в отведенном городе, т.е. в своем. Итак, он не может жить ни в своем ни вне его.

Парадокс «Генералибрадобрей» состоитв следующем: каждыйсолдатмо- жет сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал издал приказ о выделении одного специального у брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат-брадобрей? а). Если он хочет сам себя брить, то он этого не может сделать, так как он может брить только тех сол- дат, которые себя не бреют, б). Если он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не бреющие себя, он должен бриться только у одного специально- го солдата-брадобрея, т.е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя.

Этот парадокс аналогичен парадоксу «Мэр города».

Парадокс «Каталог всех нормальных каталогов» получается так. Катало- ги подразделяются на два рода:

такие, которые в числе перечисляемых каталогов не упоминают себя (нормальные), и

2) такие, которые сами входят в число перечисляемых каталогов (не- нормальные).

Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего ката- лога упомянуть и составленный им? Если он упомянет его, то составлен-

204 ЛОГИКА

ный им каталог окажется не-нормальным, т.е. он не может упоминать его. Если же библиотекарь не упомянет свой каталог, то один из нормальных каталогов — тот, который он составил, — окажется неупомянутым, хотя должен был бы быть упомянутым, как все нормальные каталоги. Итак, биб- лиотекарь не может ни упомянуть, ни не упомянуть составляемый им ката- лог. Как же тут быть? Посмотрим на этом примере, как разрешаются подоб- ные парадоксы.

Естественно заметить, что понятие «нормальный каталог» не имеет фик- сированного объема, пока не установлено, какие каталоги следует рассмат- ривать (в какой, например, библиотеке и в какое время находящиеся). Ес- ли будет дано задание составить каталог всех нормальных каталогов на 20 июня 1998 г., то объем понятия «каталог всех нормальных каталогов» бу- дет фиксирован и при составлении своего каталога библиотекарь не дол- жен будет его упоминать. Но если аналогичное задание будет дано уже по- сле того, как каталог составлен, то придется учесть и этот каталог. Так раз- решается парадокс.

Таким образом, в логику входит категория времени, категория измене- ния: приходится рассматривать изменяющиеся объемы понятий. А рассмо- трение объема в процессе его изменения — это уже аспект диалектической логики. Трактовка парадоксов математической логики и теории множеств, связанных с нарушением требований диалектической логики, принадле- жит С.А.Яновской. В примере с каталогом удается избежать противоречия потому, что объем понятия «каталог всех нормальных каталогов» берется на какое-то определенное, точно фиксированное время, например, на 20 ию- ня 1998 г. Имеются и другие способы избежать противоречий такого рода.