Глава V. Умозаключение

Итак, предположив, что S (п) = мы доказали, что + 1) = + ] )². Но выше мы проверили, что эта формула верна для п — 2, 3, 4, 5, следо- вательно, она будет верна и для п = 6, и для п — 7 и т.д. Формула считается доказанной для любого числа слагаемых. Этот метод доказательства назы- вается методом математической индукции.

Этим же методом¹ доказывается, что сумма первых п натуральных чисел, т.е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... + п, обозначенная равна

1)

Умозаключения делятся на логически необходимые и вероятностные (правдоподобные). Некоторые виды неполной индукции дают лишь веро- ятностные (или правдоподобные) заключения.

В математическом мышлении присутствуют не только логические рассуж- дения, но и математическая интуиция, фантазия и чувство гармонии, позволя- ющие предвидеть ход решения задачи или доказательства теоремы. Однако, как пишет Л.Д.Кудрявцев, здесь «интуитивные соображения и правдоподоб- ные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказа- тельства или опровержения»; истинность суждения доказывается «не провер- кой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказательной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной логики». В ходе обучения математике предполагается, что «ис- пользование знаний, математического аппарата, интуиции, чувства гармонии, фантазии, умения думать, логики, эксперимента происходит не последова- тельно по этапам — все это взаимодействует между собой в течение всего про- цесса»². В результате этого взаимодействия у учащихся вузов и средних учеб- ных заведений формируется, воспитывается математическая культура.

Итак, единство дедукции и индукции как в обучении, так и в научном творчестве своеобразно и ярко проявляется в математике — науке, значи- тельно отличающейся от естественных и от общественных наук как по ме- тодам доказательства, так и по методике передачи знаний учащимся.

Читателям, интересующимся применением индукции в математике, мы рекомен- дуем «Математика и правдоподобные рассуждения». (М., 1975), первый том которой называется «Индукция и аналогия в математике».

Кудрявцев Современная математика и ее преподавание. М., 1980. С. 91, 92.

178 ; ЛОГИКА

Выше мы приводили типы и примеры сокращенных умозаключений (кате- горического силлогизма, условных, разделительных и др.). Учащиеся в ходе обучения математике приобретают способность к свертыванию процесса ма- тематического рассуждения при решении задач знакомого типа — об этом пи- сали еще известные русские методисты (в 1916 г.) и ФАЭрн (в 1915 г.). Они отмечали, что «при многократном решении одно- типных задач учащимися отдельные этапы мыслительного процесса сокраща- ются и перестают осознаваться, но, когда нужно, учащийся может вернуться к полному развернутому рассуждению»1. Методисты-математики рев и НАМенчинская в начале 40-х годов также установили (соответственно на алгебраическом и арифметическом материале), что «наряду с развернутыми умозаключениями в умственной деятельности школьников при решении за- дач занимают определенное место и свернутые умозаключения, когда ученик не осознает правила, общего положения, в соответствии с которым он факти- чески действует... не выполняет всей той цепи соображений и умозаключений, которые образуют полную, развернутую систему решения»². Сокращение про- цесса рассуждения возникает благодаря упражнениям, причем способные к математике учащиеся переходят к свернутым рассуждениям быстро, ребята со средними способностями — медленнее, у неспособных не замечалось сколько-нибудь заметного свертывания даже в результате многих упражнений. ВАКрутецкий высказывает такую гипотезу: «Вообще никогда и нигде, веро- ятно, человек не мыслит до конца развернутыми структурами»³. Но способные ученики мыслят свернутыми структурами, сокращенными умозаключениями при решении не только однотипных, но и новых задач; при этом по просьбе экспериментатора эти учащиеся восстанавливали свернутые структуры до полной (с их точки зрения) структуры. «Свернутые» мыслительные структуры способствуют более быстрой переработке информации, ускорению процесса решения задач, упрощают выполнение сложных операций.

Изучая компоненты структуры математических способностей школьни- ков, проанализировал высказывания ряда ков и преподавателей математики средних школ по этому вопросу. Прибли- зительно 38% опрошенных обратили внимание на свертывание процесса рассуждения у способных учащихся. Приведем эти высказывания: «Процесс рассуждения у способных учащихся сокращен и никогда не развернут до

В.А. Психология математических способностей. М., 1968. С. 291.

Там же.

Там же. С. 293.