Глава V. Умозаключение

следующее из данных посылок (при этом в качестве посылок могут быть и ложные суждения).

Процесс получения заключений из посылок по правилам дедуктивных умозаключений называется выведением следствий.

Понятие логического следования

Выведение следствий из данных посылок — широко распространенная логическая операция. Как известно, условиями истинности заключения является истинность посылок и логическая правильность вывода. Иногда в ходе доказательства от противного допускаются в рассуждении заведомо ложные посылки (так называемый антитезис при косвенном доказательст- ве) или принимаются посылки недоказанные, однако эти посылки обяза- тельно подлежат в дальнейшем исключению.

Человек, не изучивший логики, делает эти выводы, не применяя созна- тельно фигур и правил умозаключения. Формальная логика знакомит с правилами различных видов умозаключений. Математическая логика да- ет формальный аппарат, с помощью которого в определенных частях логи- ки можно выводить следствия из данных посылок. Используя этот аппарат, мы можем, имея некоторые данные, получить из них новые сведения, не- посредственно не очевидные, но заключенные в этой информации, можем выводить логические следствия, вытекающие из данной информации.

Логическое следствие из данных посылок есть высказывание, которое не может быть ложным, когда эти посылки истинны.

Иными словами, некоторое выражение В есть логическое следствие из формулы (где и В — метазнаки для различных по форме высказываний), если, заменив те конкретные элементарные высказывания, которые входят в А и В, переменными, мы получим выражение

{А В), или закон логики.

Возьмем такой пример. Нам даны три посылки: «Если Иван — брат Марьи или Иван — сын Марьи, то Иван и Марья — родственники»;

2) «Иван и Марья — родственники»; 3) «Иван — не сын Марьи». Можно ли из них вывести логическое следствие, что «Иван — брат Марьи»? Многим сначала кажется, что такое логическое заключение из данных трех посылок будет истинным. Чтобы проверить это, следует составить формулу этого умозаключения. Обозначим суждение «Иван — брат Марьи» буквой (пере-

₁₂₂ ЛОГИКА

менной) суждение «Иван — сын Марьи» — буквой b и суждение «Иван и Марья — родственники» — буквой с.

Запишем нашу задачу символами (над чертой записаны три данные по- сылки, под чертой — предполагаемое заключение):

(а с, с, Ъ а

Объединив три посылки знаком конъюнкции («л») и присоединив к ним посредством знака « предполагаемое заключение а, получим формулу:

v л с л Ь) а.

Нам нужно проверить, является ли данная формула, в которой

с трактуются теперь как переменные, законом логики.

Составим для формулы таблицу:

	ь	с	ь	v b	(a v с	v с) л-с л b	(((a v с) л с л а
И	и	и	л	Л	И	Л	И
И	и	л	л	л	и	Л	И
И	л	и	и	и	и	и	И
И	л	л	и	и	л	Л	И
Л	и	и	л	и	и	Л	и
л	и	л	л	и	л	Л	и
л	л	и	и	л	и	и	Л
л	л	л	и	л	и	Л	и

В последней колонке формула в одном случае принимает значение

«ложь», значит, она не является законом логики. Следовательно, из данных трех посылок не следует с необходимостью заключение, что «Иван — брат Марьи». Иван может быть племянником Марьи, или отцом Марьи, или дя- дей Марьи, или каким-либо другим родственником Марьи.

Этот пример показывает, что эффективность средств математической логики видна тогда, когда средствами традиционной формальной логики трудно установить, вытекает ли какое-либо следствие из данных посылок или нет, особенно в случае, когда мы дело с большим числом посы- лок (но не имеем еще дела с формулами, содержащими кванторы).