Глава III, суждение 73

Операцию отрицания в виде образования нового суждения из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отрицательных сужде- ний. Существует два вида отрицания: внутреннее и внешнее. Внутреннее — указывает на несоответствие предиката субъекту (связка выражена слова- ми: «не суть», «не есть», «не является»). Например: «Некоторые люди не имеют высшего образования». Внешнее отрицание означает отрицание все- го суждения. Например: «Неверно, что в Москве протекает река Нева».

Отрицание сложных суждений

Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в своем соста- ве лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необходимо поменять знаки операций друг на друга (т.е. конъюнкцию на дизъюнкцию и наоборот) и над буквами, выражающими элементарные высказывания, написать знак отри- цания, а если он уже есть, то отбросить его.

Имеем:

a v b

а

л Ъ a v b.

четыре формулы называются законами де Моргана. Применив их, получим:

{a v Ъ) л (с v е) = (а л b) v (с л

Если в сложном суждении имеется импликация, то ее необходимо заме- нить на тождественную формулу без импликации (с дизъюнкцией), а именно:

b) v b),

затем по общему методу находить противоречащее суждение. Например:

«Если я буду иметь свободное время то буду вязать или посмотрю те- левизор (с)». Формула этого сложного суждения:

(b v с).

74 ЛОГИКА

Противоречащее суждение будет:

а v с) v (b v с) л л С).

Оно читается так: «У меня будет свободное время, но я не буду вязать и не буду смотреть телевизор».

Исчисление высказываний

1. Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

1. а, с, d, e,f... те же буквы с индексами Эти символы называ- ются переменнымивысказываниями, или пропозициональнымипеременными. С помощью этих символов записываются повествовательные предложения, выражающие суждения (высказывания).

2. Символы, обозначающие логические термины: —, л, v, v, Эти символы выражают следующие логические операции (логические связки): отрицание («не»), конъюнкция («и»), нестрогая дизъюнкция (нестрогое

«или»), строгая дизъюнкция (строгое «или»), импликация («если..., то»), эквиваленция («если и только если, то...»). Подробнее об этих логических терминах см. на с. 24-25 этого учебника.

3. Скобки: ().

Иных символов, кроме указанных, исчисление высказываний не имеет.

2. Определение формулы (или правильно построенной формулы — ППФ).

1. Переменное высказывание есть формула (а, с ...).

2. Если Л и В есть ППФ, то Л, {А л В), {A v В), {A v В), (А В) и В) есть ППФ. (Здесь буквы В, С... не являются символами исчисления вы- сказываний. Они представляют собой только условные сокращенные обо- значения формул).

Ничто иное не является формулой (ППФ).

Так, не являются формулами: л а — л а а л a v b. Первое из этих слов содержит незакрытую скобку. Второе и третье слова никак не могут быть построены на основании пункта 2. Четвертое слово не является формулой потому, что хотя — формулы, но соединениеформул связкой всегда сопровождается заключением в скобки; то же самоеможно сказать и о двухпоследнихсловах.

Существуют правила опускания скобок. При этом исходят из того, что связка л связывает сильнее, чем все остальные; связка v сильнее, чем