§ 3. Сложное суждение и его виды. Исчисление высказываний

Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логи- ческих связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие:

а	ь	л b	a v b	v b	b	Ь
И	и	И	И	Л	И	И		И	Л
И	л	Л	И	И	Л	Л		Л	И
Л	и	л	и	И	И	Л
Л	л	л	л	Л	И	и

Буквы Ь — переменные, обозначающие суждения; буква «И» обозна- чает истину, а «Л» — ложь.

Таблицу истинности для конъюнкции (а л Ь) можно разъяснить на сле- дующем примере. Учителю дали короткую характеристику, состоящую из двух простых суждений: «Он является хорошим педагогом и учится за- очно Она будет в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же а ложно, или Ь ложно, или и и Ь ложны, то вся конъюнкция в ложь, т.е. учи- телю была дана ложная характеристика.

Суждение «Увеличение рентабельности достигается путем повыше- ния производительности труда или путем снижения себестоимости продукции — пример нестрогой дизъюнкции. называется нестрогой, если члены дизъюнкции не исключают друг друга. Высказыва- ние или формула с такой дизъюнкцией истинна в том случае, когда истин- но хотя бы одно из двух суждений (первые три строки таблицы), и ложна, когда оба суждения ложны.

Строгая дизъюнкция (a v b) — та, в которой члены дизъюнкции исклю- чают друг друга. Ее можно разъяснить на примере: «Я поеду на Юг на поез- де (а) или полечу туда на самолете Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда лишь одно из двух суждений и

для импликации (а можно разъяснить на таком примере:

«Если по проводнику пропустить электрический ток то проводник на-

Глава III. Суждение 71

греется Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда пер- вое суждение истинно, а второе — ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический ток, т.е. суждение (а) было истинным, а проводник не нагрелся, т.е. чтобы суждение было ложным.

В таблице эквиваленция Ь) характеризуется так: b истинно в тех и только в тех случаях, когда и а, и b либо оба истинны, либо оба ложны.

Отрицание суждения а (т.е. характеризуется так: если а истинно, то его отрицание ложно, и если а — ложно, то — истинно.

Если в формулу входят три переменные, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные комбинации истинности или лож- ности ее переменных, будет состоять из 2³ = 8 строк; при четырех перемен- ных в таблице будет 2⁴ = 16 строк; при пяти переменных в таблице имеем 2⁵ = 32 строки; при п переменных строк.

Алгоритм распределения значений И и Л для переменных (например, четырех переменных а, с, d) таков: (см. таблицу справа):

Имеем 2⁴ 16 строк.

а	ь	с	d
	и	и	и
И	и	и	л
и	и	л	и
и	и	л	л
и	л	и	и
и	л	и	л
и	л	л	и
и	л	л	Л-
л	и	и	и
л	и	и	л
л	и	л	и
л	и	л	л
л	л	и	и
л	л	и	л
л	л	л	и
л	л	л	л

В столбце для а сначала пишем 8 раз «И» и 8 раз «Л».

В столбце для b сначала пишем 4 раза «И» и 4 раза «Л», затем повторяем и т.д.

Тождественно-истинной формулой назы- вается формула, которая при любых комби- нациях значений для входящих в нее пере- менных принимает значение «истина». Тож- дественно-ложная формула — та, которая (соответственно) принимает только значе- ние «ложь». Выполнимая формула может принимать значения как «истина», так и

Мы отвлекаемся здесь от различия между импликацией логики высказываний и со- держательным союзом «если..., то».

₇₂ ЛОГИКА

Приведем доказательство тождественной истинности формулы:

((а А с)) А (Ь v

	ь			ъ	с	b л с	а л с)		с)) л (Ъ v с)	л с)) л л a
	и	и	Л	л	л	и	И	Л	Л	И
И	и	л	Л	л	и	л	Л	И	Л	И
и	л	и	Л	и	л	л	Л	и.	. Л , . .	И ..
и	л	л	л	и	и	л	Л	и	Л	И
л	и	и	и	л	л	и	и	Л	Л	И
л	и	л	и	л	и	л	и	и	и	И
л	л	и	и	и	л	л	и	и	и	И
л	л	л	и	и	и	л	и	и	и	И

Так как в последней колонке имеем одни истины, то формула является тождественно-истинной, или законом логики (или, как иногда ее называ- ют, тавтологией).

Итак, конъюнкция (а А истинна тогда, когда оба простых суждения ис- тинны. Строгая дизъюнкция v b) истинна тогда, когда только одно про- стое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция {a v b) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация истинна во всех случаях, кроме одного: когда а — истинно, b — ложно. Эквиваленция истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрица- ние истины дает ложь, и наоборот.

Способы отрицания суждений

Два суждения называются отрицающими или противоречащими друг дру- гу, если одно из них истинно, а другое ложно (т.е. не могут быть одновре- менно истинными и одновременно ложными).

Отрицающими являются следующие пары суждений:

а	а
И	Л
Л	И

А — О. «Все S суть и «Некоторые S суть Р».

2. Е — I. «Ни одно S не суть Р» и «Некоторое S суть

3. «Это S суть Р» и «Это S не суть Р».