Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ...

С целью исключить парадоксы строгой импликации Льюиса немецкий математик и логик Ф.В.Аккерман построил свою систему мо- дальной логики. Он ввел так называемую сильную импликацию, которая не тождественна строгой импликации Льюиса, и модальные операторы Аккермана и Льюиса также не являются тождественными. Аккерман все логические термины и модальные операторы определяет через сильную импликацию так: NA равносильно А Здесь А — любая правильно построенная формула системы Аккермана; N — опера- тор необходимости; М— оператор — отрицание Л;

значает сильную импликацию; — логическая постоянная, обозначающая

«абсурдно». Эта постоянная в свою очередь определяется так: А где & обозначает конъюнкцию. И последняя формула читается так: из противоречия, т.е. А и не-А, следует абсурд. В системе Аккермана не вы- водятся формулы, структурно подобные парадоксам материальной или строгой импликации.

Системы Льюиса и Аккермана являются бесконечнозначными. В отли- чие от этих систем первоначально построенные системы Лукасевича явля- ются конечнозначными: одна — трехзначная (1920), другая — четырехзнач- ная (1953). В четырехзначной системе Лукасевича¹ также обнаружены па- радоксы. Главный из них состоит в том, что ни одно аподиктическое пред- ложение не истинно, т.е. ни одно суждение вида La (где L обозначает необ- ходимость, а a — любая формула) не является истинным. Это означало бы, что необходимых суждений нет, т.е. модальный оператор «необходимо» уп- раздняется. Лукасевич пишет: «Любое аподиктическое предложение долж- но быть отброшено»². Сам Лукасевич считал это достоинством своей систе- мы, а понятие «необходимость» — псевдопонятием. С такой точкой зрения, конечно, согласиться нельзя.

Интерпретации модальных логик различны. Известный австрийский философ и логик Р.Карнап пытался интерпретировать модаль- ные понятия (операторы) с помощью так называемой теории «возможных миров», в которой допускается наличие множества «миров», один из кото- рых — действительный, реальный мир, а остальные — возможные миры.

См. Lukasiewicz J. Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Clarendon Press. Oxford, 1957. Ch. VII; Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точ- ^{ки зрения современной формальной логики. М.,}

Ibid. Ch. VII. § 50.

392 ЛОГИКА

Необходимым объявляется то, что существует во всех мирах, возможным — то, что существует хотя бы в одном.

^{в г., используя понятие «описание состояния», предложил} интерпретацию модальных операторов, в основе которой лежала идея раз- личия возможного и действительного мира.

В ином направлении шел финский логик Я.Хинтикка. Критически пере- осмыслив введенное Карнапом понятие «описание состояния», он разрабо- тал технику «модальных множеств», т.е. миров (1957), — оригинальную се- мантическую концепцию возможных миров. Разработка семантики воз- можных миров для модальных логик продолжается.

Разнообразными проблемами модальной логики занимается американ- ^{ский логик}

В настоящее время разработаны многие виды модальностей, которые от- ражены в таблице, помещенной на с. 86 данного учебника.

Теорией модальных логик и построением новых модальных логических систем активно занимаются логики А.А.Ивин², Я.А.Слинин³, О.Ф.Серебряников, В.Т.Павлов и др.