§ 7. Модальные логики

В классической двузначной логике рассматривались простые и сложные ассерторические суждения, т.е. такие, в которых не установлен характер свя- зи между субъектом и предикатом, например: «Морская вода соленая» или

«Дождь то начинал хлестать теплыми крупными каплями, то переставал».

В модальных суждениях раскрывается характер связи между субъектом и предикатом или между отдельными простыми суждениями в сложном модальном суждении. Например: «Необходимо, что металлы — проводни- ки электрического тока» или «Если будет дуть попутный ветер, то, возмож- но, мы приплывем в гавань до темноты».

Модальными являются суждения, которые включают модальные опера- торы (модальные понятия), т.е. слова «необходимо», «возможно», «невоз- можно», «случайно», «запрещено», «хорошо» и многие другие (см. главу

§ 6 «Деление суждений по модальности»). Модальные суждения рассматри- ваются в специальном направлении современной формальной логики — в модальной логике.

Изучение модальных суждений имеет длительную и многогранную ис-

Мы отметим лишь некоторые из ее аспектов. Модальности в

ку были введены Аристотелем. Термин «возможность», по Аристотелю, имеет различный смысл. Возможным он называет и то, что необходимо, и то, что не необходимо, и то, что возможно. Исходя из понимания

ности «возможность», Аристотель о неприменимости закона исклю- ченного третьего к будущим единичным событиям.

Наряду с категорическим силлогизмом Аристотель исследует и модаяь- ный силлогизм, у которого одна или обе посылки и заключение являются модальными суждениями. Я.Лукасевич в книге «Аристотелевская

388 ЛОГИКА

стика с точки зрения современной формальной логики» две главы посвя- щает аристотелевской модальной логике предложений (гл. VI) и модальной силлогистике Аристотеля (гл. Аристотель рассматривает модальную силлогистику по образцу своей ассерторической силлогистики: силлогиз- мы подразделяются на фигуры и модусы, неправильные модусы отбрасыва- ются с помощью их интерпретации на конкретных терминах.

Согласно Аристотелю, случайность есть то, что не необходимо и не не- возможно, т.е. р — случайно означает то же самое, что и р — не необходимо и р — не невозможно, но Лукасевич отмечает, что аристотелевская теория случайных силлогизмов полна серьезных ошибок². Итог исследований Лу- касевича такой: пропозициональная модальная логика Аристотеля имеет огромное значение для философии; в работах Аристотеля можно найти все элементы, необходимые для построения полной системы модальной логи- ки; однако Аристотель исходил из двузначной логики³, в то время как мо- дальная логика не может быть двузначной. К идее многозначной логики Аристотель подошел вплотную, рассуждая о «будущем морском сражении». ^{Следуя Аристотелю, Лукасевич в г. построил первую многозначную} (трехзначную) логику. Так осуществляется связь модальных и многознач- ных

Значительное внимание разработке модальных категорий фило- софы в Древней Греции и особенно Диодор Крон, рассматривавший мо- дальности в связи с введенной им временной переменной. В средние века модальным категориям также уделялось большое внимание. В в. кате- горию вероятности разрабатывали Дж.Буль и

^{Возникновение модальной логики как системы датируется г., когда} американский логик и философ Кларенс Ирвинг Льюис (1883-1964) в ра- боте «A Survey of Symbolic Logic» сформулировал модальное исчисление, названное им впоследствии S3.

В книге написанной им совместно с К.Лэнгфордом в 1932 г., он сформулировал еще пять модальных логических систем, свя- занных с S3 и между собой. Это — системы S2, S4, S5, S6.

Lukasiewicz J. Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic. Press. Oxford, 1957; Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зре-

ния современной формальной логики. М., 1959.

§60.

Отметим, что этот теперь общепринятый термин — «двузначная логика» — был вве- ден Лукасевичем.

ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ... 389

Приведем модальной системы Исходные символы:

т.д. — пропозициональные переменные;

—

3. р • q — конъюнкция р и q, 4.p<q — строгая импликация

модальный оператор возможности

6.p = q — строгая эквивалентность, q равносильно (q< p).

2. Аксиомы системы :

1)

3)

4)

5)

6)

7)

Аксиома 5 может быть выведена из остальных, как было показано позд- нее. Так как конъюнкция связывает «сильнее», чем импликация, то скобки можно опустить или заменить их точками, как это сделано у Льюиса.

2. Правила вывода :

1. Правило подстановки. Любые два эквивалентных друг другу выраже- ния взаимозаменимы.

2. Любая правильно построенная формула может быть подставлена

р, или q, или и т.д. в любом выражении.

3. Если и выводимо то •

4. и < q, то выводимо q.

Льюис построил модальную пропозициональную логику в виде рас- ширения немодального (ассерторического) пропозиционального исчисле- ния. При этом основные черты и других его исчислений были скопиро- ваны с формализованной логической системы Principia Рассе- ла и Уайтхеда, сформулированы с помощью понятий, только терминологи- чески отличающихся от понятий, использованных в Mathematica. Кроме Рассела и Уайтхеда, идеи классической логики развивали многие со- временные математические логики, например, американский логик и ма-

См.: Lewis Logic. 1932. P. 123-126. Вих работе вместо скобок стоит знак «•», мы же употребляем скобки.

ЛОГИКА

^{тематик Исчисления Льюиса построены аксиоматически по об-} разцу Principia, и по аналогии с Principia Льюис доказывает ряд специфиче-

В классической двузначной логике логическое следование отождествля- ется с материальной импликацией и допускаются такие формы вывода:

(1)

т.е. истинное суждение следует из любого суждения («истина следует от- куда

(2)

т.е. из ложного суждения следует любое суждение («из лжи следует все, что угодно»). Это противоречит нашему содержательному, практическому пони- манию логического следования, поэтому данные формулы, как и некоторые другие, соответствующие им принципы логического следования называ- ются парадоксами материальной импликации.

Льюис создал свои новые системы с целью избежать этих парадоксов и ввести новую импликацию, названную им «строгой импликацией», та- кую, чтобы логическое следование представлялось не чисто формально, а по смыслу (содержательно) и новая импликация была ближе к связке ес- тественного языка «если, то». В строгой импликации Льюиса р < q невоз- можно утверждать антецедент, т.е. р, и отрицать консеквент, т.е. q².

В системах Льюиса были устранены материальной имплика- ции, т.е. формулы (1) и (2) стали невыводимыми, но появились парадоксы строгой импликации. К ним относятся, например, такие формулы:

~р) (3)

(4)

Итак, отождествлять строгую импликацию Льюиса со следованием нельзя.

Mathematical New — London — Sydney, 1967.

Антецедент — первый член импликации, которому предпослано слово «если». Кон- секвент — второй член импликации.