Отрицание Лукасевича

X	Nx
1	0
0

[Nx] = 1 -

Конъюнкция определяется как значений аргументов: [Кху] = min ( [х], дизъюнкция — как максимум значений х и у [Аху] = max ([х], [у]).

^{См.: О pojeciu mozliewosci 1920. Vol. 5. № 9.}

Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ... 375

Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выраженной в фор- ме х происходит так. Слева в первой колонке написаны значений для х, а сверху — значения Возьмем, например [х] — (т.е. значение для х, равное а [у] = 0, получаем импликацию 0. На пересечении по- лучаем результат

Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае фор- мулы то таблица истинности для этой формулы, включающая все воз- можные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее пе- ременной в таблице, будет состоять из = 3 строки; при двух переменных в таблице будет З² = 9 строк; при трех переменных в таблице имеем З³ = 27 строк; при п переменных будет строк.

Покажем, как происходит доказательство для формул a v (закон ис- ключенного третьего) и для (закон непротиворечия), содержащих од- ну переменную, т.е. а. В таблице будет всего = 3 строки.

а	а	flVfl
1	0	1	0	1
V,				'
0	1	1	0	1

Для доказательства формулы a v используем знание о том, что дизъ- юнкция берется по максимуму. В третьей колонке, соответствующей , видим, что вместе со значениями 1 есть значение Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Фор- мула а также не является законом логики.

Теперь посмотрим, является ли законом логики формула (х содержащая две переменные х у. В таблице будет З² = 9 строк. Распределе- ние значений истинности для х у показано в первой и второй колонках.

Вывод: так как в последней колонке встречается два раза значение нео- пределенности (т.е. то данная формула не является законом логики.

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъюнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отрицания законов непротиворечия и исключен- ного третьего двузначной логики. Поэтому логика Лукасевича не является

₃₇₆ ЛОГИКА

отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являют- ся: правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: а Ь Не являются тавтологиями прави- ла приведения к абсурду двузначной логики; (х х) х и (х л у))

(т.е. если из х вытекает противоречие, этого следует отрицание х). Это было доказано (см. таблицу 3).

Таблица 3

	у	X	У			(х
1	1	0	0	0	0	1
1		0
1	0	0	1	. 0	0	1
	1	Чг	0	0		1
		Чг			1
	0		1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1
0		1	Чг	Чг	1	1
0	0	1	1	0		1

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы разделительно-категорического силлогизма с нестрогой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение то в логике Лукасевича и в дву- значной логике определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импли- кации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасеви- ча имеется третье значение истинности — то не все тавтологии двузнач- ной логики являются тавтологиями в логике Лукасевича.

Трехзначная система Гейтинга

В двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся:

2) Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе, ни- дерландский логик и математик разработал трехзнач- ную пропозициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасевича лишь в одном случае. «Истина» обозначается «ложь» — 0, «неопределенность» —

Тавтология принимает значение 1.