Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ... 37 3

пликация «если А, где Л обозначен абсурд. Это определение от- рицания соответствует обычной практике рассуждений математика: мате- матик отрицает то, что можно привести к абсурду. Для установления истин- ности редукционного отрицания высказывания не требуется вникать в его смысл. Высказывание, для которого установлена истинность редукционно- го отрицания, не может быть истинным.

Эти три различных понимания отрицания не вступают в конфликт друг с другом, они согласованы, что, по мнению А.А.Маркова, даст возмож- ность объединить все эти понимания отрицания.

Показательно такое обстоятельство. А.А.Марков строит свои конструк- тивные логические системы для обоснования конструктивной математики таким образом, что у него получается не одна законченная система, а целая иерархия систем. Это система языков (где п — на- туральное число) и объемлющего их языка после строится язык

Итак, мы склонны думать, что развивающуюся конструктивную логику и математику невозможно вместить в одно формальное исчисление, для этого нужна система, состоящая из целой иерархии систем, в которой будет иерархия отрицаний.

Проблемами конструктивной логики и теории алгоритмов занимается также математик Н.М.Нагорный.

§ 5. Многозначные логики

В многозначных логиках число значений истинности аргументов и функ- ций для высказываний может быть любым конечным (больше двух) и даже бесконечным. В настоящем параграфе используются так называемая поль- ская запись, которую применял Лукасевич, и обычная, применяемая в дву- значной логике: отрицание обозначается через Nx конъюнкция — че- рез Кху или х А у, нестрогая дизъюнкция — через Аху или х v у, материаль- ная импликация — через Сху или х у. Значение функции от аргумента а записывается так: [а]. Тавтологией (или общезначимой, или законом логи- ки, или тождественно-истинной) называется формула, которая при любых комбинациях значений входящих в нее переменных принимает выделенное (или отмеченное) значение; как правило, это значение «истина» (чаще все- го в рассматриваемых системах «истина» обозначается цифрой 1).

См.: Доклады АН СССР. 1974. Т. 214. № 1-6; Т. 215, № 1.

374 ЛОГИКА

Развитие многозначных логик подтверждает мысль, истина всегда конкретна, а также положение об относительном характере конкретно-на- учных знаний: то, что является тождественно-истинным в одной логичес- кой системе, не оказывается в другой.

Трехзначная система Лукасевича

Трехзначная пропозициональная логика (логика высказываний) была построена в г. польским математиком и логиком Я.Лукасевичем В ней «истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «нейтрально» —

качестве основных функций взяты отрицание и импликация производными являются конъюнкция {Кху) и дизъюнкция (Аху).

Тавтология принимает значение

Отрицание и импликация соответственно определяются матрицами (таб- лицами) так:

Импликация Лукасевича

	1		0
1	1		0
	1	1
0	1	1	1