Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ... 369

только с математическими суждениями и лишь с математическим отри- цанием, которое определяется через понятие противоречия, а понятие про- тиворечия интуиционисты считают первоначальным, выражающимся или приходящимся в форме 1 = 2. Фактическое отрицание не связано с поняти- ем противоречия.

Проблемами интуиционистской логики занимаются также философы К.Н.Суханов, А.Л.Никифоров и др.

§ 4. Конструктивные логики

Конструктивная логика, отличная от логики классической, своим рож- дением обязана конструктивной математике. Конструктивная математика может быть кратко охарактеризована как абстрактная умозрительная наука о конструктивных процессах и нашей способности их осуществлять. В ре- зультате конструктивного процесса возникает конструктивный объект, т.е. такой объект, который задается эффективным (точным и вполне понят- ным) способом построения (алгоритмом).

Конструктивное направление (в математике и логике) ограничивает ис- следование конструктивными объектами и проводит его в рамках абстрак- ции потенциальной осуществимости (реализуемости), т.е. игнорирует практическое ограничение наших возможностей построений в пространст- ве, времени, материале.

Между идеями конструктивной логики советских исследователей и не- которыми идеями интуиционистской логики (например, в понимании дизъюнкции, в отказе от закона исключенного третьего) имеются точки со- прикосновения.

Однако между конструктивной и интуиционистской логиками имеются и существенные отличия.

1. Различные объекты исследования. В основу конструктивнойлогики, ко- торая является логикой конструктивной математики, положена абстракция потенциальной осуществимости, а в качестве объектов исследования допу- скаются лишь конструктивные объекты (слова в определенном алфавите).

В основу интуиционистской логики, которая является логикой интуи- ционистской математики, положена идея «свободно становящейся после- довательности», т.е. строящейся не по алгоритму, которую интуиционисты считают интуитивно ясной.

370 ЛОГИКА

2. Обоснованиеинтуиционистскойматематики илогикидаетсяс помощью идеалистически истолкованной интуиции, а обоснование конструктивной математики и логики дается на базе математического понятия алгоритма (например, нормального алгоритма А.А.Маркова) или эквивалентного ему понятия рекурсивной функции.

^{3. Различные основы. Методологическойосновойкон-} структивного направления в математике является признание практики ис- точником познания и критерием его истинности (в том числе и научного). Это положение сохраняет свою силу и для таких наук, как логика и матема- тика, хотя здесь практика входит в процесс познания лишь опосредованно, в конечном счете.

Интуиционисты же считают источником формирования математичес- ких понятий и методов первоначальную «интуицию», а критерием истин- ности в математике — «интуитивную ясность».

4. Различные интерпретации¹. А.Н.Колмогоров интерпретировал интуи- ционистскую логику как исчисление задач. интерпретировал логические связки конструктивной логики как прилагаемые к потенциаль- но осуществимым конструктивным процессам (действиям).

Интуиционистская логика Л.Брауэра и интерпретируется ими как исчисление предложений (высказываний), причем область выска- зываний у них ограничивается математическими предложениями.

4. Отличие ряда логических средств. Представители узкоконструктивной логики признают в качестве принципа: если имеется алгоритмический про- цесс и удалось опровергнуть, что он продолжается бесконечно, то, следова- тельно, процесс закончится. Некоторые из представителей конструктивной логики доказывают этот принцип в уточненной форме.

Представители интуиционистской логики не признают данного принципа.

Конструктивные исчисления высказываний В.И.Гливенко и А.Н.Колмогорова

Первыми представителями конструктивной логики были математики

(1903-1987) и В.И.Гливенко (1897-1940). Первое исчисле- Интерпретация (в математической логике) — распространение исходных положе-

ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исход-

ные положения которой определяются независимо от формальной системы.