§ 3. Интуиционистская логика

Интуиционистская логика построена в связи с развитием интуицио- нистской математики. Интуиционистская школа основана в 1907 г. гол- ландским математиком и логиком Л.Брауэром но некоторые ее идеи выдвигались и ранее.

Интуиционизм —• философское направление в математике и логике, от- казывающееся от использования абстракции актуальной бесконечности, отвергающее логику как науку, предшествующую математике, и рассматри- вающее интуитивную ясность и убедительность («интуицию») как послед- нюю основу математики и логики. Интуиционисты свою интуиционист- скую математику строят с помощью финитных (конечных) средств на ос- нове системы натуральных чисел, которая считается известной из интуи- ции. Интуиционизм включает в себя две стороны — философскую и мате- матическую.

Математическое содержание интуиционизма изложено в ряде работ ма- тематиков. Ведущие представители отечественной школы конструктивной математики отмечают положительное значение некоторых математических идей интуиционистов.

B.C. Очерки по логике квантовой механики. М., 1986. С, 9.

L.E.J. and Formalism // Bulletin ofAmerican Mathematical Society. 1913. Vol. 20. The Effect of Intuitionism on Classical Algebra of Logic // Proceedings of the Royal Irish Academy. 1955. Vol. 57. P.

Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ... 367

В целом конструктивная математика существенно отличается от интуи- ционистской, но, как указывал советский Марков, конструктивное направление имеет точки соприкосновения с интуиционистской математикой. Конструктивисты сходятся с интуицио- нистами в понимании дизъюнкции и в силу этого признают правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе с тем кон- структивисты считают неприемлемыми методологические основы интуи- ционизма.

Если математический аспект интуиционизма имеет рациональный смысл (в этой связи предпочтительнее говорить об интуиционистской мате- матике или интуиционистской логике, а не об интуиционизме), то второй его аспект — философско-методологический — совершенно неприемлем.

Брауэр считал, что чистая математика представляет собой свободное творение разума и не имеет никакого отношения к опытным фактам. У ин- туиционистов единственным источником математики оказывается интуи- ция, а критерием приемлемости математических понятий и выводов явля- ется «интуитивная ясность». Но интуиционист Гейтинг вынужден был при- знаться в том, что понятие интуитивной ясности в математике само не яв- ляется интуитивно ясным; можно даже построить нисходящую шкалу сте- пеней очевидности.

Основой происхождения математики в конечном итоге является не ка- кая-то «интуитивная ясность», а отражение в сознании пространственных форм и количественных отношений действительного мира. Гейтинг, как и Брауэр, в гносеологии субъективный идеалист. Он считает, что математи- ческая мысль не выражает истину о внешнем мире, а связана исключитель- но с умственными построениями¹.

Еще в г. советский подверг критике субъ- ективно-идеалистические основы интуиционизма, заявив, что невозможно согласиться с интуиционистами, когда они говорят, что математические объ- екты являются продуктом конструктивной деятельности нашего духа, ибо математические объекты являются абстракциями реально существующих ^{форм независимой от нашего духа Интуиционисты не} признают практику и опыт источником формирования математических по- нятий, методов математических построений и методов доказательств.

Особенности интуиционистской логики вытекают из характерных при- знаков интуиционистской математики.

^{См.: Гейтинг А. Интуиционизм// Пер. с англ. М., С. 17.}

368

В современной классической математике часто прибегают к косвенным доказательствам. Но их почти невозможно ввести в интуиционистскую ма- тематику и логику, так как там не признаются закон исключенного третье- го и закон которые участвуют в косвенных доказательствах. Но за- кон непротиворечия представители как интуиционистской, так и конст- руктивной логики считают неограниченно применимым.

Закон исключенного третьего для бесконечных множеств в интуицио- нистской логике не проходит потому, что р vp требует общего метода, кото- рый по произвольному высказыванию/? позволил бы получать доказательст- р, либо доказательство Рейтинг считает, что так как интуици- онисты не располагают таким методом, то они не вправе утверждать и прин- цип исключенного третьего. Покажем это на таком примере. Возьмем ут- верждение: «Всякое целое число, большее единицы, либо простое, либо сум- ма двух простых, либо сумма трех простых». Неизвестно, так это или не так в общем случае, хотя в рассмотренных случаях, которых конечное число, это так. Существует ли число, которое не удовлетворяет этому требованию? Мы не можем указать такое число и не можем вывести противоречие из допуще-

ния его существования.

Эта знаменитая проблема Х.Гольдбаха была поставлена им в 1742 г. и не поддавалась решению около 200 лет. Гольдбах высказал предположение, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представ- лено в виде суммы трех простых чисел. Для нечетных чисел это предполо- жение было доказано только в 1937 г. советским математиком академиком И.М.Виноградовым; все достаточно большие нечетные числа представимы в виде суммы трех простых чисел. Это — одно из крупнейших достижений современной математики.

Брауэр первый наметил контуры новой логики. Идеи Брауэра формали- зовал Гейтинг, в 1930 г. построивший интуиционистское исчисление пред- ложений с использованием импликации, конъюнкции, дизъюнкции и от- рицания на основе аксиом и двух правил вывода — modus ponens и пра- вила подстановки. Гейтинг утверждает, что хотя основные различия между классической и интуиционистской логиками касаются свойств отрицания, эти логики не совсем совпадают и в формулах без отрицания. Он отличает математическое отрицание от фактического: первое выражается в форме конструктивного построения (выполнения) определенного действия, а второе говорит о невыполнении действия («невыполнение» чего-либо не является конструктивным действием). Интуиционистская логика имеет де-