Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ... 36 5

чило в дальнейшем такое развитие в математической логике, которое сделало эту новую область науки особенно важной для решения не только трудней- ших задач теоретической математики и ее обоснования, но и целого ряда весьма важных для практики задач вычислительной математики и техники.

Другая сторона этого произведения — точнее, даже не самого этого про- изведения, а философских «обобщений», делаемых логицистами со ссылкой на него, — принадлежит уже к области попыток использовать его для «дока- зательства» положения, что математика-де сводится к логике. Именно эта сторона сомнительна, и ее опровергает дальнейшее развитие науки, которое обнаружило, что попытка Рассела безуспешна. И это не случайно. Дело не в том, что Рассел в каком-то смысле не совсем удачно построил свою систе- му. Дело в том, что вообще нельзя построить формальную «логическую сис- тему» с точно перечисленными и эффективно выполнимыми правилами вы- вода, в которой можно было бы формализовать всю содержательную ариф- метику. Это обстоятельство представляет собой содержание известной теоре- мы австрийского математика и логика К.Геделя о неполноте формализован- ной арифметики¹, из которой следует непосредственно, что определение ма- тематических понятий в терминах логики хотя и обнаруживает некоторые их связи с логикой, тем не менее не лишает их специфически математического содержания. Формализованная система имеет смысл лишь при наличии со- держательной научной теории, систематизацией которой данная формали- зованная система должна служить.

Однако и Б.Рассел в своем логическом анализе пришли к ряду интересных результатов, относящихся к понятиям «предмет», «имя», «зна- чение», «смысл», «функция», «отношение» и др. Особо следует подчерк- нуть значение разработанной Расселом теории типов (простой и разветв- ленной), цель которой состоит в том, чтобы помочь разрешить парадоксы в теории множеств. Рациональное зерно разветвленной теории Рассела со- стоит в том, что она является конструктивной теорией.

* * *

Одним из оснований деления логики служит различие применяемых в ней принципов, на которых базируются исследования. В результате тако- го деления имеем классическую логику и неклассические логики.

К. formal unentscheidbare Satze der und verwandter Systeme // Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte Preussische Academic der Vol. 38. Berlin, 1930.

366

выделяет такие основополагающие принципы классической

логики:

область исследования составляют обыденные рассуждения, рассуж- дения в классических науках;

2. допущение о разрешимости любой проблемы;

3. отвлечение от содержания высказываний и от связей по смыслу меж- ду ними;

4. абстракция двузначности

Неклассические логики отступают от этих принципов. К ним относятся интуиционистская логика, конструктивные логики, многозначные, мо- дальные, положительные, паранепротиворечивые и другие логики, к изло- жению которых мы переходим.