§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики

Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848-1925) предпринял по- пытку свести математику к логике. С этой целью в первой своей работе по математической логике «Исчисление понятий» он опре- делил множество как объем понятия и таким образом получил возмож- ность определить и число через объем понятия. Такое определение числа он сформулировал в «Основаниях арифметики» Arithmetik»), книге, которая в то время осталась незамеченной, но впослед- ствии получила широкую известность. Здесь Фреге определяет число, при- надлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия считаются равночисленными, если множества, выражающие их объемы, можно по- ставить во взаимооднозначное соответствие друг с другом. Так, например, понятие «вершина треугольника» равночисленно понятию «сторона треу- гольника», и каждому из них принадлежит одно и то же число 3, являюще- еся объемом понятия «вершина треугольника».

Если Лейбниц только наметил программу сведения математики к логи- ке, то ГФреге предпринял попытку сведения довольно значительной части арифметики к логике, т.е. произвел некоторую математизацию Символические обозначения, принятые им, очень громоздки, и поэтому мало кто полностью прочитал его «Основные законы арифметики». Впро- чем, и сам Фреге особенно не рассчитывал на это. Тем не менее труд Фреге сыграл значительную роль в истории обоснования математики в первой половине XX в. Об этом своем произведении Фреге писал: «В моих «Осно- ваниях арифметики» я пытался привести аргументы в пользу того, что арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никаких основ доказательства. В этой книге (речь идет об

См.: Frege G. der Arithmetik. V. I. Jena, 1893. V. II. 1903.

Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ... 36 3

«Основных законах арифметики» Г.) это должно быть подтверждено тем, что законы арифметики здесь выводятся только с помо- щью логических средств»¹.

Итак, Фреге что он логически определил число и точно пере- числил логические правила, с помощью которых можно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что таким образом он и сделал арифмети- ку частью логики. Фреге не однако, что построенная им систе- ма не только не представляла собой логического обоснования содержатель- ной арифметики, но была даже противоречивой. Это противоречие в сис- теме Фреге обнаружил Бертран Рассел.

В послесловии к «Основным законам арифметики» Фреге писал по это- му поводу: «Вряд ли есть что-нибудь более нежелательное для автора науч- ного произведения, чем обнаружение по завершении его работы, что одна из основ его здания оказывается пошатнувшейся. В такое положение я по- пал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этой книги близилось к концу»². Противоречием, который обнаружил Рассел в системе Фреге, был знаменитый парадокс Рассела о множестве всех нор- мальных множеств (см. с. 203-204 учебника).

Причину своей неудачи Фреге видел в использованном им предположе- нии, что у всякого понятия есть объем в смысле постоянного, строго фик- сированного множества, не содержащего в себе никакой неопределеннос- ти или расплывчатости. Ведь именно через этот объем он и определил ос- новное понятие математики — понятие числа.

Вслед за очередную попытку сведения математики к логике предпринял видный английский философ и логик Бертран Рассел (1872-1970). Он также автор ряда работ из областей истории, литературы, педагогики, эстетики, естествознания, социологии и др. Труды Рассела по математической логике оказали большое влияние на ее развитие. Вместе с английским логиком и математиком А.Уайтхедом³ Рассел разработал ори- гинальную систему символической логики в фундаментальном трехтомном труде Mathematica»⁴. Выдвигая идею сведения математики к ло- гике, Рассел считает, что если гипотеза относится не к одной или несколь- ким частным вещам, но к любому предмету, то такие выводы составляют

V.I. 1893. S. 1. Ibid. V. II S. 253.

См.: Избранные работы по философии // Пер. е англ. М., 1990.

^{and Principia Mathematica. London,}

364

математику. Таким образом, он определяет математику как доктрину, в ко- торой мы никогда не знаем ни того, о чем мы говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим.

Рассел делит математику на чистую и прикладную. Чистая математика, по его мнению, есть совокупность формальных выводов, независимых от ка- кого бы то ни было содержания, т.е. это класс высказываний, которые выра- жены исключительно в терминах переменных и только логических констант. Рассел не только вполне уверен в том, что ему удалось свести математику к такого рода предложениям, но делает из этого утверждения вывод о суще- ствовании априорного знания, считает, что «математическое познание нуж- дается в посылках, которые не базировались бы на данных чувства»¹.

От чистой математики Рассел отличает прикладную математику, которая состоит в применении формальных выводов к материальным данным.

Для того чтобы показать, что чистая математика сводится к логике, сел берет систему аксиом арифметики, сформулированную Пеано, и пыта- ется их логически доказать, а три неопределяемые у Пеано понятия: «нуль»,

«число», «следующее за» — определить в терминах своей логической систе- мы. Все натуральные числа Рассел также считает возможным выразить в терминах логики, а следовательно, свести арифметику к логике. так как, по его мнению, вся чистая математика может быть сведена к арифметике, то математика может быть сведена к логике. Рассел пишет: «Логика стала математической, математика логической. Вследствие этого сегодня совер- шенно невозможно провести границу между ними. В сущности это одно и то же. Они различаются, как мальчик и мужчина; логика — это юность математики, а математика — это зрелость логики»². Рассел считает, что не существует пункта, где можно было бы провести резкую границу, по одну сторону которой находилась бы логика, а по другую — математика.

Но в действительности математика несводима к логике. Предметы изу- чения этих наук различны. Нами ранее были указаны характерные черты, присущие логике как науке (см. с. У математики другие задачи и функции.

В большом труде «Principia Mathematica» есть две стороны. Первая — за- ставляющая видеть в нем один из основных истоков современной математи- ческой логики. Все, что связано с этой стороной Principia Mathematica, полу-

Russel В. The Philosophical Importance of Mathematical Logik. // «Monist». V. XXIII. 1913.

№4. P. 489.

Russel B. Introduction to Mathematical Philosophy. London, 1924. P. 194.