Глава X, этапы развития логики как науки и основные направления ... 35 3

Интенсивное развитие математическая логика получила в работах Д.Бу- ля, Э.Шрёдера, и других логиков.

Английский логик Джордж Буль разрабатывал алгебру логи- ки — один из разделов математической логики. Предметом его изучения были классы (как объемы понятий), соотношения между ними и связан- ные с этим Буль переносит на логику законы и правила алгебра- ических действий.

В работе «Исследование законов мысли»¹, которая оказала большое влия- ние на развитие логики, Буль ввел в логику классов в качестве основных опе- раций сложение («+»), умножение («х» или пропуск знака) и вычитание («-»). В исчислении классов сложение соответствует объединению классов, исклю- чая их общую часть, а умножение — пересечению. Вычитание Буль рассматри- вал как действие, противоположное (opposite) сложению, — отделение части от целого, то, что в естественном языке выражается словом «кроме» (except).

Буль ввел в свою систему логические равенства, которые он записывал посредством знака «=», соответствующего связке «есть». Суждение «Свети- ла суть солнца и планеты» в виде равенства записывается так: х = у + z, откуда следует, что х — z — Согласно Булю, в логике, как и в алгебре, мож- но переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком. Буль открыл закон коммутативности для вычитания: х-—у = —у + закон дистрибутивности умножения относительно вычитания: z — у) = zx — Он сформулировал общее правило для вычитания: «Если от равных вычесть равные, то остатки будут равными. Из этого следует, что мы можем склады- вать или вычитать равенства и употреблять правило транспозиции точно так же, как в общей алгебре»².

Предметом исследования ученого были также высказывания (в традици- онной логике их называют суждениями). В исчислении высказываний, по Булю, сложение («+») соответствует строгой дизъюнкции, а умножение («х» или пропуск знака) — конъюнкции.

Чтобы высказывание записать в символической форме, Буль составляет логическое равенство. Если какой-либо из терминов высказывания не рас- пределен, он вводит термин V для обозначения класса, неопределенного в некотором отношении. Для того чтобы выразить частноотрицательное

См.: George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories and Probabilities. London, 1854.

Boole George. An of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854. P. 36.

12 Б-560

₃₅₄ ЛОГИКА

суждение, например: «Некоторые люди не являются благоразумными», Буль сначала представляет его в форме: «Некоторые люди являются небла- горазумными», а затем выражает в символах обычным способом.

По Булю, существует три типа символического выражения суждений:

Х= V (только предикат не распределен):

термина — субъект и предикат — распределены); V (оба термина не распределены).

Диалектика соотношения утверждения и отрицания в понятиях и сужде- ниях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание. Утверждения и отрицания связаны с универсальным классом: «Сознание допускает существование универсума не априори, как факт, не зависящий от опыта, но либо апосте- риори, как дедукцию из опыта, либо гипотетически, как основание воз- можности утвердительного рассуждения»¹.

Различая живой разговорный язык и «язык» символический, Буль под- черкивал, что язык символов — лишь вспомогательное средство для изуче- ния человеческого мышления и его законов.

Немецкий математик Эрнст (1841-1902) собрал и обобщил ре- зультаты Буля и его ближайших последователей. Он ввел в употребление термин (логическое исчисление), новые по сравнению с Булем символы. В основу исчисления классов он положил не отношение равенст- ва, как это было у Буля, а отношение включения класса в класс, которое обозначал как Знак «+» Буль использовал для обозначения объедине- ния классов, исключая их общую часть, т.е. симметрическую разность (см. рис. 26), а у знак «+» обозначает объединение классов без ис- ключения их общей части.

Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which Founded the Mathematical Theories of and Probabilities. London, 1854. P. 85.

Глава ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... 35 5

Пропуском знака Шредер обозначает операцию пересечения классов, например, ab.

Во взглядах на отрицание можно отметить много интересно- го нового по сравнению со взглядами Буля. Под отрицанием я, класса а понимает его дополнение до

Если классов больше двух, то оперировал с ними по сформули- рованным им правилам. Правило 1: если среди сомножителей некоторого произведения находятся такие, из которых один является отрицанием дру- гого, то произведение «исчезает», т.е. равно 0. Например, abc • 0, так как и

Правило 2: если среди членов некоторой суммы находится хотя бы один, который оказывается отрицанием другого, то вся сумма равна

+ b + с, +a + c + =1.

Значительное внимание уделил анализу структуры отрицатель- ных суждений. Отрицательную частичку он прилагает к предикату, т.е. вме- сто не есть он берет есть Так, суждение «Ни один лев не яв- ляется травоядным», если следовать идеям надо заменить на суж- дение «Все являются нетравоядными».

Класс как отрицание класса а очень неопределенным. И в доказательство этой мысли приводит такой пример. Понятие «несра- жающийся» (в армии) охватывает: саперов, полковых ремесленников, слу- жащих лазарета, врачей, которые относятся к армии, но не сражаются.

Опираясь на законы де Моргана, проводит анализ языка разго- ворной речи. Выражение с в речи означает, что «каждое с есть не-а и (одновременно) не-b». Для него можно выбрать выражение: дое с не есть ни а, ни Это конъюнктивное примером которо- го может быть: «Каждая рыба — не птица и не млекопитающее». Другое суждение: «Никакая рыба не есть птица и млекопитающее» — означает в символическом виде с что эквивалентно, на основании правила де Моргана, с е + Так называемое по связке суждение «ни а, ни b не есть представляется в виде +

формулирует правила (или требования) научной классификации:

1. Между родом и суммой его видов должно быть тождество.

См.: Е. Vorlesungen die Algebra der Logic. !. Leipzig, 1890. S. 302

356

2. Все виды должны быть дизъюнктивными, т.е. должны исключать друг друга и попарно в произведении давать 0.

3. Для расчленения рода на виды должно быть одно основание. Ис- пользуя отрицание, показал, как классифицируемый род делится на виды и подвиды.

В логическом исчислении, доведенном до наибольшей простоты, Шрё- дер признает три основных действия: сложение (трактуя его как нестрогую дизъюнкцию), умножение и отрицание. Однако вычитание он считает не- безусловно выполнимой операцией.

Автор данного учебника признает вполне приемлемой в логике классов операцию вычитания классов. Но понимает ее принципиально иначе, чем Буль и Буль и считали, что в разности а — должно пол- ностью входить в а, если же Ь или аи b — несовместимы, то операция вычитания невыполнима. В отличие от Буля и мы допускаем воз- можной (т.е. выполнимой) разность всяких двух классов а и из которых Ь может и не быть частью в качестве следствий мы учитываем случаи вы- читания, когда классы а и Ъ являются пустыми или универсальными.

Наиболее известные работы английского логика Стенли Джевонса — «Principles of Science, a Treatise on Logic and Scientific Method» (London, 1874) и «Elementary Lessons in Logic, Deductive and Inductive» (London, 1870).

В качестве логических операций Джевонс признавал конъюнкцию, не- строгую дизъюнкцию и отрицание и не признавал обратных логических ^{— вычитания и деления. Классы он обозначал} а их дополнения до универсального класса, обозначаемого или их отри- цания •— соответственно курсивными буквами обозначает у него нулевой (пустой) класс; связка в суждении заменяется знаком равенства.

Большое значение Джевонс придавал принципу (или подста- новки), который формулируется им если только существует одинако- вость, тождество или сходство, то все, что верно об одной вещи, будет вер- но и о другой. Этот принцип играет важную роль в умозаключении. Для обозначения отношения одинаковости (или тождества) Джевонс упо- требляет знак

Обозначив положительные и отрицательные термины соответственно через А и В и Джевонс записывает закон непротиворечия как Аа - 0. Критерием ложности заключения, по Джевонсу, является наличие в нем