Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ...
зывают логицистами — представителями субъективно-идеалистического направления (считающего первичным сознание человека) в обосновании математики.
Лейбниц является предшественником логицизма в том смысле, что он предложил сведение математики к логике и математизацию логики: постро- ение самой логики как некоторой арифметики или буквенной алгебры. Но Лейбниц был предшественникомлогицизма и в том, что пытался создать арифметизированное логическое исчисление, о котором мы говорили.
Покажем, как это
делал
Возьмем такой категорический сил-
логизм:
+70,
-
30 
-
3
Всякий мудрый есть благочестивый.
+70,-33 +8,-11
Некоторые мудрые богаты.
+10,-3
Некоторые богатые благочестивы.
Сверху над
понятием написан
выбранный наудачу
правильный (по Лейбницу) набор
характеристических чисел для терминов
посылок. Ис- тинность
общеутвердительного суждения «Все
суть
Р» (первая посылка) выражается
тем, что обе характеристики субъекта
делятся на соответствую- щие
характеристики предиката, т.е.
70 (точно, без остатка) делится на
10, а
— 33
делится на
— 3,
и числа,
стоящие
надиагоналях,
— взаимно
простые, т.е.
+ 70
и —
3, также,
как
— 33
и +
10,
взаимно простые
числа. Истинность
частноутвердительного суждения, по
Лейбницу, должна выражаться таким
правилом: числа, стоящие на диагоналях,
должны быть взаимно простыми, т е. не
иметь общих делителей, кроме
единицы.
+8,-11
Посылка «Некоторые мудрые богаты» имеет такие числа: т.е. на обеих диагоналях стоят взаимно простые числа.
+
+
352 . ЛОГИКА
И заключение этому правилу также удовлетворяет, ибо на диагоналях стоят взаимно простые числа:
+
8 -11
_
Истинность
общеотрицательного
суждения «Ни одно S
не
есть
у Лейбница
выражалась тем, что по крайней мере на
одной диагонали сто- ят не взаимно
простые числа. Истинность
частноотрицательного
суждения выражалась
тем, что по крайней
мере одна
из характеристик субъекта не де- лится
на соответствующую характеристику
предиката.
Чтобы воспользоваться исчислением Лейбница, нужно рассуждение об- лечь в форму силлогизма и посмотреть, правильный он или неправильный. Однако построенная Лейбницем система удовлетворяла этому требованию только в применении к правильным, по Аристотелю, построенным силло- гизмам. Автором настоящего учебника доказано, что все 19 правильных, по Аристотелю, модусов силлогизма окажутся правильными и по критерию Лейбница. Но в отношении неправильных модусов категорического силло- гизма Аристотеля дело обстоит по-иному. Всегда можно построить такой пример, когда при разных правильных наборах числовых характеристик для посылок получаются разные оценки заключения: в одних случаях оно оказывается истинным, в других — ложным.
Исчисление Лейбница, таким образом, не выдержало проверки, что, ко- нечно, заметил и сам Лейбниц, перешедший в дальнейшем к построению буквенного исчисления по образцу алгебры. Но тоже неудачно.
Однако в этих замыслах Лейбница не все было неверно. Сам по себе ме- тод арифметизации в математической логике играет весьма существенную роль как вспомогательный прием. В нем состоит, например, сущность ме- тода, с помощью которого известный австрийский математик и логик К.Гё- дель доказал неосуществимость лейбницевой мечты о создании такой все- общей характеристики, которая позволит заменить все человеческое мыш- ление вычислениями.
Ложной была именно метафизическая идея Лейбница о сведении всего человеческого мышления к некоторому математическому исчислению. Поэтому были ложны и вытекающие из нее следствия.