4. Методичні вказівки до виконання завдань контрольної роботи

Задача 1. У магазин надходить продукція із трьох підприємств у кіль­кості 20, 50, 30 виробів відповідно. Ймовірності виготовлення неякісного виробу для кожного підприємства відповідно дорів­нюють 0,01; 0,04; 0,03. Навмання вибраний виріб виявився неякісним. Якому підприємству, ймовірніше всього, належить цей виріб?

Розв’язування. Подія А – вибрано неякісний виріб. Гіпотези Н₁, Н₂, Н₃ – це вибір виробу із продукції відповідного підприємства. Ймовірності цих подій дорівнюють:

.

Використовуючи формулу повної ймовірності знаходимо:

.

За формулами Байєса знаходимо умовні ймовірності гіпотез:

; ;

.

Оскільки , то ймовірніше всього, що вибра­ний неякісний виріб належить третьому підприємству.

Задача 2. Ймовірність присутності студента на лекції дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що із 100 студентів на лекції буде: а) 75 студентів; б) не менше 90 студентів.

Розв’язування.

а) за умовою п = 100, p = 0,8; q = 0,2; k = 75. Використовуємо локальну теорему Лапласа:

, де .

Знайдемо значення х: .

За таблицею значень функції знаходимо .

Оскільки , то . Шукана ймовірність

;

б) використовуємо інтегральну теорему Лапласа:

,

де .

За умовою , . Знаходимо і :

; .

За таблицею значень функції Лапласа Ф(х) знаходимо . Шукана ймовірність:

.

Задача 3. Знайти: 1) математичне сподівання; 2) дисперсію; 3) середнє квад­ра­тичне відхилення дискретної випадкової величини X по даному за­кону її розподілу:

xi	26	28	30	32
pi	0.1	0.2	0.4	0.3

Розв’язування.

Знайдемо математичне сподівання:

Знайдемо дисперсію:

Знайдемо дисперсію за другою формулою:

Знайдемо середньоквадратичне (стандартне) відхилення:

Задача 4. Випадкова величина X задана інтегральною функцією F(X). Знайти: 1) диференціальну функцію розподілу; 2) математичне сподівання і дисперсію. Побудувати графіки інтегральної і диференціальної функ­цій розподілу ймовірностей випадкової величини X.

Розв’язування. Знайдемо диференціальну функцію розподілу f(x):

Будуємо графіки інтегральної та диференціальної функцій:

За формулою знаходимо математичне сподівання:

Дисперсію знаходимо за формулою , тобто

Середнє квадратичне відхилення дорівнює:

.

Задача 5. Задані математичне сподівання а = 30 і середнє квадратичне відхилення  = 2 нормально розподіленої випадкової величини X. Знайти: 1) ймо­вір­ність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (28, 39); 2) ймовірність того, що абсолютна величина відхилення вия­ви­ться меншою  = 3 .

Розв’язування. 1) Використовуємо формулу:

2) Використовуємо формулу:

Задача 6. Задані середнє квадратичне відхилення  = 3 нормально розподіленої випадкової величини X, вибіркова середня = 3,24, об’єм вибірки n = 36. Знайти довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного сподівання a з заданою надійністю  = 0,95 .

Розв’язування. . Відкіля . По таблиці функції Лапласа знаходимо значення u = 1,96. Далі знаходимо точність оцінки: . Знаходимо границі інтервалу:

.

Одержимо довірчий інтервал: (2,26; 4,22).

Задача 7. Знайти методом добутків вибіркову середню та вибіркову диспер­сію заданої вибірки.

xi	123	128	133	138
mi	8	42	30	20

Розв’язування. Знайдемо об’єм вибірки:

Крок між варіантами h = 5. Як помилковий нуль виберемо варіанту з найбільшою частотою (мода): С = 128.

Побудуємо зведений варіаційний ряд, варіанти якого обчислимо по формулах:

yi	-1	0	1	2
mi	8	42	30	20

Обчислимо вибіркову середню та вибіркову диспер­сію зведеного ряду:

Обчислимо вибіркову середню та вибіркову диспер­сію заданої вибірки:

Задача 8. Побудувати емпіричну функцію за даним розподілом ви­бірки:

хі	3	5	12
mі	4	6	10

Розв’язування. Об’єм вибірки п = 4 + 6 + 10 = 20.

Найменша варіанта х = 3, отже при .

Значення Х<5 спостерігається 4 рази.

Отже, при .

Х<12 спостерігається 4 + 6 = 10 раз.

при .

Оскільки Х = 12 найбільша варіанта, то при . Таким чином емпірична функція має вигляд:

Задача 9. За даними двох незалежних вибірок об’єму n₁ = 10 та n₂  = 15 із нормальних сукупностей X та Y знайдені виправлені вибіркові дисперсії  = 15,42 та  = 11,36. При рівні значущості  = 0,05 перевірити гіпотезу H₀: D(X) = D(Y) при аль­тернативній H₁: D(X) > D(Y).

Розв’язування. Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої: . По таблиці розподілу Фішера, за рівнем значущості  = 0,05 і числам ступенів вільності і знаходимо критичну точку . Враховуючи, що , робимо висновок, що немає підстав відкинути нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій.

Задача 10. Знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на X за даними кореляційної таблиці; перевірити значущість параметрів і тісноту кореляційного зв’язку.

yj xi	2,1	2,2	2,3	2,4	mx
-1,1	0	2	0	10	12
-1,0	0	4	2	9	15
-0,9	2	12	3	0	17
-0,8	21	14	0	0	35
-0,7	1	0	0	0	1
my	24	32	5	19	80

Розв’язування. Знайдемо середні значення величин X і Y:

Знайдемо середні квадратичні відхилення величин X і Y:

Знайдемо кореляцію між величинами X і Y:

Знайдемо коефіцієнт кореляції між величинами X і Y:

Знайдемо параметри лінійного рівняння регресії Y на X.

Коефіцієнт регресії:

Вільний член регресії:

Одержимо рівняння регресії у вигляді:

Побудуємо графік лінії регресії та експериментальних точок вибірки: