7.7.2 Интервальные оценки

Сущность оценки параметров измерений с помощью интервалов заключается в нахождении доверительных интервалов, между границами которых с какой-то доверительной вероятностью может находиться истинное значение оцениваемых параметров. Интервальные оценки применяются в сочетании с точечными. Допустим, при обработке результатов изменений получена точечная оценка, отвечающая требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности:

. (7.17)

Эта оценка используется вместо истинного значения Х_ист. = Q.

ε ε

X_ист

0

Х

доверительный интервал

Рисунок 7.8 – Схема доверительного интервала

Истинное значение величины будет с доверительной вероятностью находиться между границами доверительного интервала + ε:

(7.18)

Указанная вероятность может быть представлена в следующем виде

, (7.19) где - квантиль закона распределения,

Ф – функция Лапласа.

Величина для различных законов распределения составляет следующие значения (Таблица 7.1 – Значения квантилей)

Доверительная в ероятность, Р закон распределения	0, 90	0, 95	0, 99	0, 999
нормальный	1,645	1,360	2,576	3,290
равномерный	1,55	1,64	1,71	1,73
треугольный	1,67	1,90	2,20	2,37

Половина доверительного интервала может быть представлена:

; (7.20)

; (7.21)

(7.22)

Формула доверительного интервала с учетом изложенного может быть представлена в следующем виде:

; (7.23)

Поскольку на практике можно воспользоваться статистическими определенными видами оценок данная формула приводится к следующему виду:

; (7.24)

; (7.25)

где и S_X – точечные оценки по результатам наблюдений

Для точного определения доверительного интервала для случайных величин Х, распространенных по нормальному закону при неизвестной дисперсии рекомендуется применять закон распространения Стьюдента с(n-1) степенями свободы. В этом случае определяется по таблицам Стьюдента для соответствующей вероятности (Р = 0,90... 0,999) :

(7.26) Распределения Стьюдента без всяких оснований закон распределения Стьюдента при определении может использоваться в тех случаях, когда распределение случайных величин не является нормальным. На основании закона больших чисел, при достаточно большом количестве измерений (20-50) целесообразно применение формул, основанные на нормальном законе распределения результатов измерения (формула 7.25).