7.6 Требования к оценкам измеряемой величины
В результате измерений и обработки полученных результатов получаются различные характеристики (среднее арифметическое, математическое ожидание), которые являются оценками характеристик истинного значения величины.
В метрологии к оценкам истинного значения величины предъявляется ряд требований:
- состоятельность оценки. Оценка считается состоятельной, если при увеличении числа измерений она сходится по вероятности к математическому ожиданию. В метрологии при изучении случайных величин для оценки истинного значения измеряемой величины обычно используется среднее арифметическое значение.
Математически доказано, что среднее арифметическое значение может считаться состоятельной для истинного значения величины.
- несмещенность оценки состоит в том, что при замене оценкой истинного значения величины не возникает систематическая погрешность отклонения от истинного значения величины.
Обеспечивается использование математического ожидания как оценки при любом числе измерений.
- эффективность оценки. Оценка считается эффективной, если при условии несмещенности имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками.
7.7 Точечные и интервальные оценки истинного значения измеряемой величины
7.7.1 Точечные оценки.
В метрологии для оценки параметров случайных величин на основе выборочных значений используют математическое ожидание и СКО. Оценки параметра называют точечными, если они выражаются одним числом. Любые точечные оценки выполняются на основании опытных данных. Они являются функциями случайных величин с распределенными, зависящими от распределения оцениваемых параметров измеряемой величины и числа опытов. По этим причинам точечные оценки должны удовлетворять требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности.
Используются несколько методов определения оценок, но наиболее распространен метод наибольшего правдоподобия.
При
выполнении многократных измерений
истинное значение величины сосредоточено
в наблюдении. Х1...Хn
их можно рассматривать как n
независимых случайных величин с одной
функцией распространения
, но вероятность Pi
получения
результата хi
будет равна какой-то части общей
вероятности.
Вероятность появления всех результатов может быть определена:
(7.11)
Суть
этой методики состоит в том, что при
изменении характеристик распространения
может быть достигнута наибольшая
вероятность получения экспериментальных
данных.
В
соответствии с методом Фишера, те
значения, при которых
достигнет наибольшего значения и
принимаются в качестве точечных оценок
истинного значения.
В соответствии с данной методикой доказано, что точечными оценкой результатов измерений распределенных по нормальному закону являются:
;
(7.12)
Таким образом, оценкой истинного значения величины является среднее арифметическое значение, а оценкой дисперсии является среднее из квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического.
Исходя из теории наибольшего правдоподобия, для нормального закона распределения установлены следующие виды оценок:
1. Оценкой истинного значения является среднее арифметическое значение результатов отдельных измерений.
;
(7.13)
2. Оценка среднего квадратичного отклонения (СКО) результатов наблюдения
.
(7.14)
3. Оценка СКО среднего арифметического значения
x
.
(7.15)
4. Оценка СКО оценки среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.
. (7.16)