4.3.2 Математическая модель средств измерений в форме дифференциального уравнения.

Данная модель считается наиболее удобной и универсальной моделью

а_nу⁽ⁿ⁾(t)+а_n-1у^(n-1)(t)+…..+у(t)= к[bmx^(m)(t)+b_m-1х^(m-1)(t)+…..х(t)] (4.1)

где

у_i(t), х_j(t)- производные входного и выходного сигналов.

Линейные дифференциальные уравнения такого типа описывают линейное операторное преобразование. Если математическая модель средства измерения задана в форме дифференциального уравнения, а измеряемой величиной является х(t), то результатом измерения будет результат решения этого уравнения. Обычно результат решения дифференциального уравнения относится у(t) имеет следующий вид:

у(t)= ƒ[w(t)x(t-t)dt] (4.2)

где w(t)- весовая функция средств измерения.

Решение уравнения представляет собой интегральную форму связи между измеряемой величиной х(t) и результатом измерений у(t).

4.3.3 Математическая модель средств измерений в форме передаточных и частотных характеристик

Более простую связь, чем дифференциальное уравнение, между измеряемыми величинами и результата можно получить, перейдя от функции времени к функции комплексной переменной:

Р=σ+ jw; (4.3)

σ=const ;

w - круговая часть w=2πт;

j= √-1

Принято функция времени называется оригиналом ƒ(t), а функция комплексного аргумента F(P) - называется изображением.

Переход к функции комплексного аргумента Р от ƒ(t) осуществляется на основе преобразования Лапласа:

F(p)= L[ƒ(t)] (4.4)

Используя преобразования Лапласа к обоим частям модели дифференциального уравнение, то в конечном итоге получил следующую зависимость:

n m

( ∑а_ipⁱ) Y(р)= k(∑в_jp^j) Х(р) (4.5)

i=o j=o

Из данного выражения следует, что

m n

у(р) /х(р)=W(P)= k ∑ в_jp^j / ∑ a_ipⁱ = kW₀(p), (4.6)

j=o i=o

где - W(p)- передаточная функция средства измерения- это отношение изображения результата измерения к изображению измеряемой величины;

к- коэффициент чувствительности средств измерения;

W_o(P)- передаточная функция операторной части средств измерения.

Математическая модель в форме передаточной функции обеспечивает простую связь в области комплексного аргумента Р между результатом измерения и измеряемой величины.

Понятие передаточной функции широко применяется и для случаев измерения величин в виде синусоидальных сигналов типа:

X(t)= A_хе^{j (wt+γx)} . (4.7)

При подаче такого сигнала на вход линейного преобразователя на выходе средства измерения будет тоже синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и началом фаз.

Если предположить следующее условие:

Р=jw; σ=0, то можно получить выражение передаточной функции:

W(P)/_p=jw=W(jw)=U(w)+jV(w)=W(jw)e^jα(w) (4.8)

U(w)-действительная часть, V(w)-мнимая часть.

Данное выражение называется частотная (амплитудно-фазовая) характеристика средств измерения – модель средств измерения в области аргумента w.

Из данного выражения следует:

W(jw)= – амплитудно-частотная (4.9)

характеристика (АЧХ) средств измерения.

α(w)=arctgV(w)/U(w) – фазово-частотная (4.10)

характеристика (ФЧХ) средств измерения.

При использовании линейного преобразования на выходе получается сигнал следующего вида:

y(t)=Ay(w)e^j[wt+φ_y ^(w)] (4.11)

В этом случае АЧХ будет определяться как отношение амплитуд входного-выходного сигнала: W(jw)= . (4.12)

Фазово-частотная характеристика имеет вид:

α(w)= φ_y(w)- φ_x . (4.13)

АЧХ отражает зависимость отношения амплитуд выходного-входного сигналов от частоты, а ФЧХ отражает зависимость разности фазовых углов выходного-входного сигналов от частоты.

АЧХ могут использоваться как полные динамические характеристики аналоговых средств измерений.

Для сложных измерительных систем передаточная функция и частотная характеристика определяются по следующим правилам:

Рисунок 4.1 - Типовые формы характеристик

1) при последовательном включении элементов характеристика канала в целом определяется произведением функций составляющих элементов;

2) При параллельном включении каналов характеристика системы в целом равна сумме функции сигналов.

Таким образом, связь между измеряемой величиной и результатом измерения в области комплексного аргумента определяется следующим образом:

y(P)=W(P)*X(P) (4.14)

y(jw)=W(jw)*X(jw) (4.15)

Обратные переходы от изображения к оригиналу производятся за счёт обратного преобразования Лапласа.