1.2 Кристалдың симметриясын ескеру

Зоналық құрылымдарды есептеу үшін кристалдың симметриясын ескерудің маңызы зор. Мысалы, кері кеңістіктегі изоэнергетикалық бет эллипсод тәрізді болсын. Кері кеңістіктің кез келген нүктесі үшін эллиспоидтың орналасуын бес тұрақты сан арқылы көрсету керек, олар: эффективті массаның үш құраушысы және эллипсоидтың бағдарын білдіретін екі тұрақты. Егер эллипсоид центрі симмерия орталығында, немесе симметрия сызықтарында орналасса, бұл тұрақтылардың саны күрт азаяды, мысалы айналу эллипсоиды үшін эффективті массаның екі құраушысы жеткілікті. Олай болса, кристалдың симмериясын ескеру есептеуді жеңілдетеді.

Кеңістіктегі қандай-да бір қозғалыстар нәтижесінде дене өзімен-өзі беттесетін болса, ондай қозғалыстарды симметриялы түрлендірулер деп атайды. Симметриялы түрлендіруді, негізгі үш түрлі қозғалыстың комбинациясы арқылы көрсетуге болады, олар: денені бір өстің төңірегінде айналдыру, жазықтықтағы айналық шағылу және параллель көшіру. Шектеулі дене тек айналдыру мен шағылуға қарағанда симметриялы болатындығы түсінікті.

Егер денені бір өстің төңірегінде 2π/n бұрышқа бұрған кезде өзімен-өзі беттесетін болса, ондай өсті – n-ретті симметрия өсі деп атайды және С_n деп белгіленеді. Бұл операцияны m рет қайталау денені m2π/n бұрышқа бұрады және деп белгіленеді. Операцияны n рет қайталау денені бастапқы қалпына келтірсе, және оны теңбе-тең түрлендіру деп атайды .

Егер денені бір жазықтықта айналық шағылдыру кезінде өзімен-өзі беттесетін болса, ондай жазықтықты – симметрия жазықтығы деп атайды және оны σ арқылы белгілейді. Бір жазықтықта екі рет шағылдыру – теңбе-тең түрлендіру болады .

Егер денені 2π/n бұрышқа бұрып, соңынан симметрия осьіне пер-пендикуляр жазықтықта айналық шағылдыру жасаған кезде дене өзімен-өзі беттесетін болса, ондай түрлендіруді айналық-бұру симметриясы деп атайды.

Денені бір өстің төңірегінде π бұрышқа бұрып, соңынан сол өске перпендикуляр жазықтықта айналық шағылдырған кезде дене өзімен-өзі беттесетін болса, ондай түрлендіруді – инверсия деп атайды.

1 .1 суретте инверсиялық түрлендіру көрсетілген. Инверсия нәтижесінде, кеңістік-тегі P(x,y,z) нүктесі, бас нүктеге қарағанда симметриялы Pʹ(-x,-y,-z) нүктесімен бетте-седі. О нүктесі симметрия центрі деп аталады. Кеңістікті инверсиялау кезінде r(x,y,z) радиус-векторы -r(-x,-y,-z) векторына алмастыры-лады. Инверсиялық симметриялы дененің 2-ретті айналық бұру өсі болады. Жалпы жағдайда бұру және айналық шағылу операцияларын қолдану ретін ауыстыруға болмайды. Бірақ кейбір жоғары симметриялы денелер үшін бұл операторлар коммутативті болуы мүмкін.

Берілген дененің барлық симметриялы түрлендірулері оның симметриялар тобы (группа симметрий) деп аталады, ал ол топқа кіретін түрлендірулерді сол топтың элементтері дейді.

Математикада, белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын шектеулі, немесе шектеусіз элементтер жиынын топ деп атайды. Топтың элементтері мына шарттарды қанағаттандырулары тиіс:

1. Элементтер үшін көбейту операциясы анықталады. Белгілі ретпен алынған, кез келген және екі элементтің көбейтіндісіне осы топтағы элементі сәйкес келеді және ол түрде жазылады. Жалпы жағдайда көбейту операциясы коммутативті болмауы мүмкін.

2. Топ элементтерінің ішінде Е бірлік элемент болады. Топтың кез келген элементінің бірлік элементке көбейтіндісі сол элементтің өзіне тең .

3. Кез келген элементіне кері элемент табылады, және олар үшін орындалады.

4. Элементтердің көбейтіндісі ассоциативті болады, яғни олар үшін шарты орындалады.

Жоғарыда келтірілген симметриялы түрлендіру операцияларын симметрия тобының элементтері деп есептеу керек. Олардың әрқайсысы жеке белгіленеді. Мысалы, 2-ретті өстің төңірегіндегі бұруды деп, ал жазықтықтағы айналық шағылуды деп белгілесек, І инверсия операциясы көбейтіндісіне сәйкес келеді. Симметриялы түрлендіру тобында элементтерінің кез келген екеуі болса, онда сол топта міндетті түрде үшіншісі де болады.

Топ элементтерінің көбейтіндісі үшін коммутативтілік заңы орындала бермейді. Оны 4.2а суреттегі тең қабырғалы үшбұрыш симметриясы тобынан көруге болады. Бұл үшбұрыш үшін мынандай түрлендіру элементтері топ құрайды:

1) Теңбе-тең түрлендіру Е;

2) Аа түзуі жатқан вертикал жазықтықтағы шағылу σ_а;

3) Bb түзуі жатқан вертикал жазықтықтағы шағылу σ_b;

4) Сс түзуі жатқан вертикал жазықтықтағы шағылу σ_с;

5) Үшбұрыштың центрі арқылы өтетін, оның жазықтығына перпендикуляр өстің төңірегінде 2π/3 бұрышқа сағат тіліне қарсы бағытта бұру ;

6) Үшбұрыштың центрі арқылы өтетін, оның жазықтығына перпендикуляр өстің төңірегінде 4π/3 бұрышқа сағат тіліне қарсы бағытта бұру немесе, сол өстің төңірегінде сағат тілі бағытында 2π/3 бұрышқа бұру.

Бұл кезде σ_а және элементтері өзара коммутативті болмайтынын көру қиын емес, , ал .

Егер G тобының элементтер саны g шектеулі болса, онда g-ретті топ дейді. G тобының элементтері ішінен h элемент өзара топ құрайтын болса, ол Н тобын, бастапқы G тобының бөлігі, немесе төменгі тобы (подгруппа) деп атайды. Жоғарыдағы элементтер тобынан мына төменгі топтарды көрсетуге болады: 1) (Е) (теңбе-тең түрлендіру, немесе бірлік элемент, жалғыз өзі топ болып саналады. Бірлік элемент үшін жоғарыдағы шарттар орындалатынын тексеріп көру қиын емес); 2) және 3) төменгі топтары.

Топ элементтері өзара түйіндес элементтер кластарына бөлінеді. Топтың және екі элементті үшін, сол топтан элементі табылып, олар үшін мына қатынас орындалатын болса,

, (1.11)

ол екі элемент өзара түйындес деп аталады. Топтың өзара түйіндес элементтерінің жиыны класс құрайды. Жоғарыдағы дұрыс үшбұрышты түрлендіру элементтері түйіндес үш класқа бөлінеді: 1) теңбе тең түр-лендіру, 2) айналық шағылулар ( ), 3) бұрулар. Мысалы, элементтері бір класқа бірігеді. Олар үшін,

, .

К ластың барлық элементтері өзінің бір элементі арқылы анықталады. Егер а элементі класқы тиісті болса, элементі де сол қласқа жатады, бұндағы b – топтың кез келген элементі. Әрбір элемент тек бір класқа тиісті болады. Кез келген топтың бірлік элементі өзінше класс болып табылады .

G тобы n элементтен, ал Н тобы m элементтен құралсын. G тобының, бірлік элементтен басқа элементтері, Н тобының элементтерінен өзгеше болсын және олармен коммутация жасайтын болсын. Бұл топтардың элементтерін көбейту арқылы алынған элементтері топ құрайды және ол берілген топтардың тура көбейтіндісі деп аталады, ал ондағы элементтер саны mn болады.

Өлшемі шектеулі денені симметриялы түрлендіру кезінде, дененің ең болмағанда бір нүктесі жылжымайтын болу керек. Бұндай түрлендірулерді нүктелік симметриялы түрлендірулер тобы дейді. Нүктелік симметриялы түрлендіру тобының кейбір түрлеріне тоқталайық [13].

1. тобы. деп, n-ретті өстің төңірегіндегі бұру топтарын белгілейміз,

2. − 2n-ретті өстің төңірегіндегі айналық бұру тобы болсын. Ол топта 2n элемент болады. Дербес жағдайда тобында Е және І екі элементі болады.

3. айналық бұру тобы. бұру тобына, өске перпендикуляр жазықтықтағы айналық шағылу түрлендіруін қоссақ, 2n элементтен тұратын, айналық бұру тобын аламыз. Оның n элементі тобына, келесі n элементі , тобына тиісті. болған кезде, шағылу болады.

4. тобы. бұру тобына, бұру өсі жататын симметрия жазықтығын қоссақ, тобын аламыз. Бұл жағдайда, өстің бойымен өзара π/n бұрышпен қиылысатын, тағы n-1 вертикал симметрия жазықтығы пайда болады. тобы 2n элементтен тұрады олар: өстің төңірегіндегі n бұру элементтері , және вертикал жазықтықтардан шағылу σ-ға сәйкес n элементтен тұрады.

5. тобы. бұру тобына, айналу өсіне перпендикуляр өстің төңірегіндегі, 2-ретті бұру түрлендіруін қоссақ, горизонтал жазықтықта жататын, өзара π/n бұрышпен қиылысатын, тағы осындай n-1, 2-ретті өстік симметрия пайда болады. Бұндай симметриялы түрлендірулер тобын құрайды. тобы да 2n элементтен тұрады, оның ішінде n-ретті өстің төңірегіндегі n бұру элементі және горизонтал жазықтықтағы 2-ретті өсьтің төңірегіндегі π бұрышқа бұруға сәйкес n элемент болады. Дербес жағдайда тобы, өзара перпендикуляр болатын, 2-ретті үш өстің төңірегіндегі π бұрышқа бұру элементтерінен тұрады және оны деп белгілейді.

6. Тетраэдрдің симметрия өстері тераэдр тобын құрайды және Т деп белгіленеді. Бұл топтың түрлендірулері, V тобына тиісті 2-ретті өстерге, өзара көлбеу бұрышпен қиылысатын, 3-ретті төрт симметрия өстерін қосу арқылы алынады. 2-ретті үш ось үшін кубтың қарама-қарсы жақтарының центрлерін қосатын түзу, ал 3-ретті төрт ось үшін кубтың кеңістіктегі қарама-қарсы төбелерін қосатын төрт диагональдарын алу ыңғайлы (4.2 сурет).

7. тобы. Тетраэдр тобына, 2-ретті бір өс пен 3-ретті екі өстер арқылы өтетін симметрия жазықтықтарын қосу арқылы, тобы алынады. 4.2б суретте осындай жазықтықтың біреуі қара контурмен көрсетілген. Суретте сызықтарды көбейте бермес үшін, 3-ретті өс ретінде кубтың бір диагоналы ғана көрсетілген. Осы жазықтықтағы кубтың екінші диагоналын елестету қиын емес. Бұл жағдайда 2-ретті өс, 4-ретті айналық бұру өсіне айналады. тобы барлығы 24 элементтен тұрады, оларды 5 класқа бөлуге болады: 1) Е бірлік элементі; 2) және бұруларына сәйкес 8 элемент; 3) тетраэдрдің симметрия жазықтықтарыдағы 6 айналық шағылу; 4) және айналық бұруға сәйкес 6 элемент, және 5) бұруға сәйкес 3 элемент.

8. тобы. Тетраэдр тобына симметрия центрін қосу арқылы тобы алынады. Егер Е бірлік элементі мен І инверсия элементі тобын құрайды десек, тобы Т тобы мен тобының тура көбейтіндісі болады . Бұл топ элементтерінің жартысы Т тобымен сәйкес келсе, екінші жартысы оларды І инверсия элементіне көбейту арқылы анықталады. І инверсия элементі нүктелік топ элементтерінің барлығымен коммутация жасайтын-дықтан, тобы, Т-ға қарағанда екі есе көп класқа бөлінеді. Олардың жартысы Т тобының класымен сәйкес келсе, қалған жартысы, оның элементтерін І-ге көбейту арқылы анықталады.

9. О октаэдр тобы. Кубтың симметрия өстеріне сәйкес түрлендірулер О – октаэдр тобын құрайды. Кубтың симметрия өстері: кубтың қарама-қарсы жақтарының центрлерін қосатын, 4-ретті үш өс; қарама-қарсы төбелерін қосатын, 3-ретті төрт өс; және қарама-қарсы қырларының центрлерін қосатын, 2-ретті алты өс. Олардың әрқайсысынан бір-бір өстен 4.2в суретте қара сызықтар арқылы көрсетілген, ал қалғандарын елестету қиын емес. О – октаэдр тобының 24 элементі 5 класқа бөлінеді: 1) Е бірлік элементі; 2) және бұруларына сәйкес 8 элемент; 3) және бұруларына сәйкес 6 элемент; 4) бұруларына сәйкес 3 элемент; және бұруларға сәйкес 6 элемент.

10. тобы. Келесі симметриялы түрлендірулер тобы − кубты симметриялы түрлендіру О тобына симметрия центрін қосу арқылы алынады . Бұл жағдайда О тобының 3-ретті өстері, 6-ретті айналық бұру өстеріне айналады. Бұлардан басқа, кубтың қарама-қарсы екі жақтары арқылы өтетін 6 симметрия жазықтығы және қырларына параллель 3 симметрия жазықтығы алынады (1.2г сурет). тобы, барлығы 48 элементтен тұрады және оларды 10 класқа бөлуге болады. Олардың бесеуі О тобының класымен бірдей, ал қалған жартысы оның элементтерін І-ге көбейту арқылы анықталады.

Жоғарыда келтірілген нүктелік топтардың элементтері шектеулі. Кейбір жағдайларда топ элементтерінің саны шексіз болуы мүмкін. Ондай топтарға аксиалды және сфералық симметриялы денелердің нүктелік топтарын жатқызуға болады. Ондай денелерді кез келген бұрышқа бұрған кезде өзімен өзі беттеседі. Бұл кезде бұру тобындағы деуге болады.

Сфералық симметриялы денені, оның центрі арқылы өтеттін кез келген ось төңірегінде, кез келген бұрышқа бұру оны өзімен өзін беттестіреді. Толық сфералық симметриялы топты, үш өлшемді кеңістіктегі бұру тобы дейді және деп белгіленеді. Оған симметрия центрі арқылы өтетін кез келген жазықтықтағы айналық шағылуды қоссақ тобы алынады, .

Қарапайым кубтың нүктелік симметрия топтарын келтірейік. Коор-динаттың бас нүктесі кубтың центріне орналасқан. Кез келген нүктенің координатының r(x, y, z) симметрялы түрлендіру кезіндегі өзгерісінің кестесі [16]:

1.1 кесте

кластар	Координаттың түрленуі		кластар	Координаттың түрленуі
E	x, y, z		I	-x, -y, -z
	-x, -y, z; x, -y, -z; -x, y, -z;		I	x, y, -z; -x, y, z; x,-y, z;
	-y, x, z; x, -z, y; z, y, -x;	y, -x, z; x, z, -y; -z, y, x;	I	y,-x, -z; -x, z, -y; -z, -y, x;	-y, x, -z; -x, -z, y; z, -y, -x;
	y, x, -z; -x, z, y; -z, -y, -x;	z; -y, x; -y, -x, -z; -x, -z, -y;	I	-y, -x, z; x, -z, -y; z, y, x;	-z; y, -x; y, x, z; x, z, y;
	z, x, y; z, -x, -y; -z, -x, y; -z, x, -y;	y, z, x; -y, -z, x; -y, z, -x; y, -z, -x;	I	-z, -x, -y; -z, x, y; z, x, -y; z, -x, y;	-y, -z, -x; y, z, -x; y, -z, x; -y, z, x;

Кубтың толық симметриялы түрлендірулер тобы 10 класқа бөлінген, барлығы 48 элементтен тұрады

1. Теңбе-тең түрлендіру Е класы (бірлік элемент).

2. Төртінші ретті бұру өстері болып табылатын, координат өстерінің төңірегінде -қа бұру. класына жататын бұл түрлендірулер саны алтау.

3. Осы өстердің төңірегінде 180°-қа бұру − класына жататын үш түрлендіру.

4. Қарама-қарсы жақтарының центрін қосатын екінші ретті өстердің төңірегіндегі 180°-қа бұру класына жататын алты түрлендіру.

5. Кубтың кеңістіктегі төрт диагональдары төңірегіндегі 120°-қа бұру класындағы сегіз түрлендіру.

6. Координаттың бас нүктесіне қарағандағы инверсия – бір түрлендіру.

7. Жоғарыда келтірілген түрлендірулердің I –инверсия операторына көбейтіндісіне сәйкес , , , , барлығы 23 түрлі түрлендіру.