Застосування до наближених обчислень.
При досить малому прирості х аргументу х диференційованої функції f(x) приріст у функції у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції
або
(10)
якщо позначити х = х - х0, то рівняння (10) приймає вигляд
або
(11)
Таким чином, для значення де, близьких до х0, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x0,f(x0), відрізком дотичної до кривої в цій точці:
(див. Рис. 1). Беручи значення х0 = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу
Звідси, підставляючи замість f (x) різні елементарні функції, легко одержати ряд формул
(наприклад
)
;
Приведемо декілька прикладів.
Приклад 1. Обчислимо наближено sin 46°.
Розв’язання:
Приймемо за початкове значення незалежної змінної
х0
= 45° =
,
а за
х=
1° =
.
Тоді згідно (11)
Приклад 2. Обчислити
наближено
.
Розв’язання:
Розглянемо функцію і приймемо за початкове значення незалежної змінної x0 = 4 , а за х = -0,0022. Тоді
Приклад 3.
Обчислити наближено
.
Розв’язання:
Перетворимо вираз, що стоїть під знаком радикала:
,
звідки
.
(1)
При
обчисленні
введемо
функцію
,
тоді
.
Формула запишеться так:
,
де
.
Інакше
.
(2)
Підставивши (2) у рівність (1), дістанемо
.
Приклад 4. Наближено
обчислити значення 
.
Розв’язання.
В даному випадку 
.
Нехай 
, 
,
тоді 
і
за формулою: 
,
отримаємо, що:
.
Приклад 4. Наближено обчислити значення ln 0,97.
Розв’язання.
.
Приклад 4. Наближено обчислити значення (3,045)5.
Розв’язання.
Самостійна робота «Похідна елементарних функцій. Застосування похідної до наближених обчислень.»
1. Знайти:
|
наближене значення |
похідну складної функції |
||
1 |
|
cos 18˚ |
(1,005)4 |
у = сtg(2x2 + 1) |
2 |
|
sin 50˚ |
(4,013)3 |
у = 5x ·ln 2x |
3 |
|
cos 66˚ |
(2,025)5 |
у= sin2x - 7x |
4 |
|
sin 25˚ |
(3,014)6 |
у= х cos 3x |
5 |
|
cos 67˚ |
(1,015)3 |
у = ln(x3 + 5х) |
6 |
|
sin 91˚ |
(7,022)4 |
у = xe 5x |
7 |
|
cos 42˚ |
(2,033)5 |
у =
|
8 |
|
sin 38˚ |
(3,011)4 |
у = 5x·ln 4х |
9 |
|
cos 56˚ |
(8,004)3 |
у= 4х +52х-7 |
10 |
|
sin 49˚ |
(2,003)6 |
у=2x·sin (2x+1) |
11 |
|
cos 17˚ |
(1,035)4 |
|
12 |
|
sin 51˚ |
(4,017)3 |
|
13 |
|
cos 65˚ |
(2,035)5 |
|
14 |
|
sin 35˚ |
(3,011)6 |
у = tg(5x3 + 2х) |
15 |
|
cos 62˚ |
(1,014)3 |
у = 3x ·ln 7x |
16 |
|
sin 93˚ |
(7,025)4 |
у= cos9x - 8x3 |
17 |
|
cos 43˚ |
(2,037)5 |
у= 3х sin 4x |
18 |
|
sin 39˚ |
(3,019)4 |
у = ln(x4 + 4х) |
19 |
|
cos 53˚ |
(8,008)3 |
у = 2xe 7x |
20 |
|
sin 44˚ |
(2,009)6 |
у =
|
21 |
|
cos 67˚ |
(6,002)4 |
у = 4x·ln 3х |
22 |
|
sin 97˚ |
(4,037)5 |
у= 5х +614х-7 |
23 |
|
cos 47˚ |
(2,029)4 |
у=7x·sin (3x3+x) |
24 |
|
sin 33˚ |
(5,038)3 |
|
25 |
|
cos 57˚ |
(3,039)6 |
|
2.Знайти:
похідні, використовуючи правила диференціювання: |
||
суми (різниці): (u ± v)' = u' ± v' |
добутку: (u ∙ v)' = u'∙v + v'∙u |
частки:
|
|
|
|
;
;
;
;
x3
+
+ctgx;
;
+
- ctgx;
;
;
;
;
;
;
;
;
-
ctgx;
;
-
+ tgx;
;
;
;
;
∙
;
;
;
;
;
∙ ctgx;
∙
;
;
;
;
;
;
;
;
;
∙ ctgx;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.