Тема: диференціювання функцій

ПЛАН:

1. Правила диференціювання.

2. Похідна складної функції.

3. Друга похідна, її фізичний зміст.

4. Застосування до наближених обчислень.

Правила диференціювання.

Теорема: Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

(u(x)(x))’ = u’(x)’(x)

для любого х є (a; b). Коротше,

(u)’ = u’

Доведення: Суму функцій u(x)+(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,

Нехай х₀ – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді

Також,

Так як

х₀ – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

в)

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u₁(x) + u₂ (x) +… кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

для любого х є (a; b). Коротше,

Доведення. Позначимо похідні через х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.

Нехай х₀ – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді

Навіть так як

то

Так як х₀ – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо

Теорема доведена.

Приклад,

а)

б)

в)

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаємо

Приклади.

а)

б)

Похідна частки двох функцій .

Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому для любого х є (a; b), то

для любого х є (a; b).

Доведення. Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи визначення похідної.

Нехай х₀ – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді,

Навіть, так як

то

і послідовно

Так як х₀ – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х₀ можна замінити

на х. Теорема доведена.

Приклади.

а)

б)

Основні правила диференціювання. Нехай u(x), v(x), – диференційовані в точці х функції,

С –стала.

	;
; ;	;

Похідна складної функції.

Якщо функція y = f (u) має похідну в точці u , а функція u = g (x) – в точці x , то складена функція

y = f (g (x)) диференційована в точці x , причому y ' = f ' (u) ∙ g ' (x). Іншими словами, похідна складеної функції y = f (u), u = g (x) дорівнює добутку похідної від зовнішньої функції, взятої по внутрішньому аргументу u , і похідної від внутрішньої функції, взятої по незалежній змінній x .

Якщо u (x) - диференційовна в точці x функція, то виконуються такі формули диференціювання складених функцій :

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню χ зна­чення функції у, яка задана формулою у = .

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 – x², а потім за значенням u обчислити у = f(u) = .

Отже, функція g ставить у відповідність числу x число u, а функ­ція f — числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функцій g і f, і пишуть у = f(g(x))·

Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміж­ною змінною, функцію f(u) — зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g(x)) в довільній точ­ці х, спочатку обчислюють значення й внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію у = . Вона є складеною із функцій u = cos х, у = , де cos x — внутрішня функція, — зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складені функції f(g(x)) і g(f(x)), якщо f(x) = sin х, g(x) = x².

Розв'язання

f(g(x)) = sin g(x) = sin x²; g(f(x)) = (f(x))² = (sinx)² = sin² х.

Виконання вправ

1. Задайте формулами елементарні функції f і g, із яких побу­дована складена функція у = f(g(x)):

а) у = cos (2х + 3); б) у = (2x + 3)⁷; в) у = ; г) у = sin² x.

Відповіді: а) u = g(х) = 2х + 3; y = f(u) = cos u; б) и = g(x) =2х+3; у = f(u) = u⁷;

в) u = g(x) =х² +2х; у = f(и) = ; г) u = g(x) = sin x; у = f(u) = u².

У складеній функції у = f(g(x)) присутня проміжна змінна u=g(x). Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використову­ючи при цьому спеціальні позначення:

— похідна функції у по аргументу x;

— похідна функції у по аргументу u;

— похідна функції u по аргументу x.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3x³ – 1)⁵.

Розв'язання

у = (3х³ – 1)⁵ — складена функція у = u⁵, де u = 3x³ – 1, тоді y' = (u⁵)' · (3х³ – 1)’ = 5u⁴ · 9х = 5(3х³ -1)⁴ · 9х = 45х(3х³ – 1)⁴.

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов'язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³ – 1:

у' = ((3x³ – 1)⁵)' = 5(3х³ -1)⁴ · (3x³ – 1)' = 5 · (3x³ – 1)⁴ · 9x = 45x(3x³ – 1)⁴.

Приклад 2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = ; б) у = sin (3х + 5); в) у = cos²x; г) y = cos x².

Розв'язання

б) у' = (sin(3x + 5))' = cos (3х + 5) · (3x· + 5)' = 3 cos(3x + 5);

в) у = (cos² x)' = 2 cos x· (cos x)' = 2 cos x · (- sin x) = = -2 cos x sin x = - sin 2x;

г) y’ = (cos x²)' = - sin x² · (x²)' = -2x sin x².

Друга похідна, її фізичний зміст.

Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами:

- Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків.

- Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника.

- Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.

Друга похідна та її фізичний зміст.

Нехай функція диференційована на деякому проміжку та має похідну . Якщо ця функція є диференційованою в деякій точці інтервалу , тобто має в цій точці похідну, то зазначена похідна називається другою похідною, або похідною другого порядку, та позначається

Приклад 1.: Знайти другу похідну слідуючих функцій:

Розв’язання:

1) Знайдемо першу похідну: .

Тепер знайдемо другу похідну

2) ;

3)

Похідна від швидкості за часом є прискорення:

механічний (фізичний) зміст похідної другого порядку.

Приклад 2. Точка рухається прямолінійно за законом . Знайти прискорення точки в момент .

Розв’язання:

Знайдемо прискорення даної точки. Для цього знайдемо похідну від шляху: .

Тепер знайдемо прискорення, для цього знайдемо другу похідну від шляху:

.

Величина прискорення являється постійною для довільного значення , отже рух точки за даним законом проходить із постійним прискоренням, тобто .

Приклад 2. Закон руху тіла знаходиться рівнянням . Яке прискорення тіла в момент, коли його швидкість дорівнює 11 м/с?

Розв’язання:

Знайдемо прискорення тіла в будь який момент часу, для цього знайдемо другу похідну від шляху:

Далі розв’яжемо рівняння і знайдемо потрібний нам момент часу: . Тепер знайдемо прискорення тіла в момент : .

Диференціал функції, його геометричних зміст.

Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну

(1)

тоді

(2)

де а 0, якщо х 0.

Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо:

(3)

Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f'(x₀) 0 є нескінченно малою одного порядку з х, тому що:

Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж х, тому що:

Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці.

Тоді доданок f'(x)· x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції у і називається диференціалом функції.

Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x).