1. Знайдіть похідні функції:

а) у = х⁶; б) у = х⁸; в) y = x²·x⁵; г) y = .

Розв’язання:

а) у ' = (х⁶ )' = 6х^6-1 = 6х⁵ ;

б) у ' = (х⁸ )' = 8х^8-1 = 8х⁷;

в) у ' = (x²·x⁵ )' =(х²⁺⁵ )' =(х⁷ )' = 7х^7-1 = 7х⁶;

г) у ' = = (x^8-2 )' =(х⁶ )' = 6х^6-1 = 6х⁵.

2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х ^-10; б) y = x²·x ^-5; в) y = ; г) y = .

Розв’язання:

а) у ' =( х ^-10 )' = -10х ^-10-1 = –10х ^-11;

б) у ' =(x²·x ^-5 )' = (x^2-5 )' =(х ^-3 )' = -3х ^-3-1 = -3х^-4;

в) у ' = = (x ^-6 )' = -6х ^-6-1 = -6х ^-7;

г) у ' = = (x^2-8 )' =(х ^-6 )' = -6х ^-6-1 = -6х ^-7.

3. Знайдіть похідні функції:

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв'язання

• Похідні показникових та логарифмічних функцій.

(е^x)’ = е^x .

Знайдемо похідну функції f(x) = a^x, скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції: Отже,

.

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = 5^х; б) у = е^{3 - 2х}; в) у = (0,3^sinx); г) у = .

Розв'язання

а) у' = (5^х)' = 5^хln 5;

б) у' = (е^{3 – 2x})' = e^{3 – 2x} · (3 - 2х)' = -2e^{3 – 2x};

в) y' = ((0,3)^sinx)'= (0,3)^sinxln 0,3 · (sin x)' = (0,3)^sinx ln 0,3 · cos x =

= ln 0,3cosx(0,3)^sinx;

г) у = ( )'= ·ln5·(x²+2х+3)'= ln5–(2х+2) = 2ln5(x+1) .

.

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = log₂x; б) у = ln (х² + 1); в) y = lg (3x); г) у = ln² (5х + 1).

Розв'язання

а) y’ = (log₂x)’ = ;

б) y’ = (ln(x²+1))’ = ·(x²+1)’ = ;

в) y’ = (lg(3x))’ = ·(3x)’ = = ;

г) y’ = (ln²(5x+1))’ = 2ln(5x+1)·(ln(5x+1))’ = 2ln(5x+1)· ·(5x+1)’=

= 2ln(5x+1)· = .

• Похідні тригонометричних функцій.

Приклад

Розв’язання

1) y ' = ((l + sin x)²)' = 2(l + sin x)·(l + sin.x)' =

= 2 (1 + sin x) · cos x;

2) у’ = ( )’ = · (cos x)’ = ;

3) у' = (ctg³ x)’ = 3ctg² x · (ctg x)' = 3ctg² x · = = = .

4) y’ = = 5 + = + 0 = .

• Похідні обернених тригонометричних функцій.

5. Таблиця похідних (формули диференціювання основних елементарних функцій)

Рівняння дотичної до кривої.

y= f (x₀) + f ^'( x₀) ( x – x₀) (2)

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці x_o можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння (2) дотичної: y – y_о = f '(x_o)(x – x_o).

2. Знаходимо у_o = f(x_o)·

3. Знаходимо значення f '(x) у точці x_o: f '(x_o).

4. Підставляємо значення x_o, y_o і f '(x_o) y рівняння (2).

Приклад 1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х² - 4х в точці x_o = 1.

Розв'язання

І спосіб за означенням похідної

1. y - y_о = f '(x_o)(x – x_o) — рівняння шуканої дотичної.

2. у_o= 1² – 4·1 = 1 – 4 = - 3.

3. .

4. Підставляємо значення x_o = 1, y_o = –3, f'(x_o) = –2 у рівняння дотичної: y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х .

ІІ спосіб за допомогою таблиці похідних

1. y - y_о = f '(x_o)(x – x_o) — рівняння шуканої дотичної.

2. знаходимо значення функції в точці х₀ = 1:

3. знаходимо похідну від заданої функції ;

знаходимо значення похідної в точці х₀ = 1: ;

4. рівняння нормалі запишеться так: у – (-3) = –2(х – 1) = –2х +2;

у= –3–2х +2 = –1 – 2х .

Нормаллю до графіка функції в точці М₀ називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці.

Рівняння нормалі: (3)

План знаходження рівняння нормалі у заданій точці x_o:

1. Записуємо рівняння (3) нормалі: .

2. Знаходимо у_o = f(x_o)·

3. Знаходимо значення f '(x) у точці x_o: f '(x_o).

4. Підставляємо значення x_o, y_o і f '(x_o) y рівняння (3).

Приклад. Знайти рівняння нормалі до графіка функції у = х² у точці з абсцисою х₀ = – 3. (за допомогою таблиці похідних)

3. знаходимо значення функції в точці х₀ = – 3:

4. знаходимо похідну від заданої функції ;

знаходимо значення похідної в точці х₀ = – 3: ;

5. рівняння нормалі запишеться так: .