Основні теореми про межу.
теореми, які ми приймемо без доведення.
1. Якщо функція f(x) має границю при х → а, то ця границя єдина.
2. Границя
постійної функції дорівнює постійній
С = С, де С — постійна.
3. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь, при умові, що границі доданків існують.
(f(x) ± g(x)) = f(х) ± g(x).
4. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо границі множників існують
(f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).
5. Постійний множник можна виносити за знак границі
(Cf(x)) = С f(x).
6. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю
,
.
Сформульовані теореми використовуються при знаходженні границь функцій.
Приклад 1.
Знайдіть
.
Розв'язання
.
Відповідь: 3.
Приклад
2. Знайдіть
.
Розв'язання
Відповідь: 2.
Приклад 3.
Знайдіть
Розв'язання
В цьому прикладі безпосередньо
скористатися теоремами про границі не
можна, бо границя знаменника дорівнює
нулю. Оскільки в означенні границі
|х – а| > 0, тобто |х — а|
0, то маємо
.
Відповідь: 4.
Приклад 4.
Знайдіть
Розв'язання
.
Відповідь: – 1.
Перша чудова границя
.
Приклад.
Знайти
.
Розв'язання
Відповідь: 7.
Розкриття невизначеностей
;
.
Перш ніж перейти к обчисленню границь, запишемо за допомогою символів основні теореми теорії границь.
Нагадаємо символи:
a – стала
∞ - нескінченна велика додатня
-∞ - нескінченна велика від’ємна
+0 – нескінченна мала додатня
-0 – нескінченна мала від’ємна
1) a+0=a; a
∙ 0=0;
;
2)
;
3) a+∞=∞; a ∙ ∞=∞; ∞+∞=∞; ∞ ∙ ∞=∞
4) ∞∞=∞; 0 ∙ ∞=∞
Але при обчисленні границь дуже часто з’являються так названі невизначеності. Символічно їх можна записати так:
Ці умовні записи характеризують поведінку змінних величин.
Щоб знайти границю невизначеності виразу, треба усунути цю невизначеність.
Розглянемо деякі окремі випадки.
Невизначеність виду
задана відношенням двох многочленів
=
=
Тобто, щоб розкрити невизначеність , треба чисельник і знаменник розділити на найвищий степінь x у цих многочленах. При цьому можна сформувати таке правило:
Якщо найвищий степінь чисельника вище найвищого степеня знаменника, то границя дробу нескінченно велика.
Якщо найвища степінь чисельника нижче найвищого степеня знаменника, то границя дробу дорівнює нулю.
Якщо найвищі степені чисельника і знаменника однакові, то границя дорівнює частки від поділу коефіцієнтів біля старших степенів.
Невизначеність виду задана відношенням двох многочленів
=
Розкладемо чисельник і знаменник на множини:
Множини (x-1), через який чисельник і знаменник прямують до нуля, називають критичним множником.
Таким чином, щоб розкрити
невизначеність
,
задану відношенням двох многочленів,
треба в чисельнику і знаменнику виділити
критичний множник і скоротити на нього
дріб.
Невизначеність задана ірраціональними виразами.
(х-2) – критичний множник. Позбудемося від ірраціональності в чисельнику.
Невизначеності виду ∞-∞ задані ірраціональними виразами.
