Розв'язання

Знайдемо похідну у’ =1 – = . Стаціонарні точки x₁= 6, х₂ = -6. На інтервалі (0; 10) є тільки одна стаціонарна точка x = 6. При переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+» , і тому x = 6 — точка мінімуму.

Отже, .

Завдання для самостійної роботи

А

1. Знайти стаціонарні точки функції:

а)

б)

в)

г)

2. Знайти екстремуми функції:

а)

б)

3. Дослідити функцію і побудувати її графік:

а) б) ; в) .

4. Знайти найбільше та найменше значення функції

а) на відрізку ;

б) на відрізку .

Б

1. Знайти проміжки зростання і спадання функції:

а)

б)

в)

г)

2. Вказати функцію, яка зростає на всій своїй області визначення:

а)

б)

в)

г)

3. Вказати функцію, стаціонарна точка якої є її точкою екстремуму:

а)

б)

в)

г)

4. Знайти найбільше та найменше значення функції на проміжку:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Вказати функцію, яка в точці x₀ має максимум:

а)

б)

в)

г)

В

1. Число 64 представити у вигляді добутку двох додатних множників так, щоб сума їхніх квадратів була мінімальною.

2. Із циліндричного поліна діаметром D вирізати балку прямокутного перерізу так, щоб площа перерізу була най більшою.

3. У півкруг радіуса R вписати прямокутник найбільшого периметру.

Довести, що з усіх рівнобічних трикутників, вписаних у заданий круг, найбільший периметр має рівносторонній трикутник.

Індивідуальна контрольна робота «Похідна та її застосування»

Варіант 1

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -х² + 2х – 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ – 6х².

3. Дослідіть функцію у = х³ – 3х та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – х² у точці з абсцисою x_o = -1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х+ на відрізку [1; 3].

Варіант 2

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 2х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 3х².

3. Дослідіть функцію у = 3х - х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ + х² у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - х на відрізку [1; 4].

Варіант 3

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 3х² - 6х + 7.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х² - х³.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ - 4х² та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – х³ у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 4:х на відрізку [0; 3].

Варіант 4

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -3х² + 6х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х².

3. Дослідіть функцію у = х⁴ – 4х³ та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 6х² у точці з абсцисою x_o = -1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х - х³ на відрізку [-2; 0].

Варіант 5

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² + 9х – 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ – х².

3. Дослідіть функцію у = 2х³ – х та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 2х² у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х+ на відрізку [1; 3].

Варіант 6

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 4х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 12х².

3. Дослідіть функцію у = 12х - х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ - 3 х² у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - х на відрізку [1; 4].

Варіант 7

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² -3х + 7.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 4х² - х³.

3. Дослідіть функцію у =2х⁴ - 4х² та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – 4х³ у точці з абсцисою

x_o = 2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 8х на відрізку [0; 3].

Варіант 8

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -4х² + 2х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х².

3. Дослідіть функцію у = 3х⁴ – 4х³ та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 4х³ – 6х² у точці з абсцисою x_o = -2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 2х - х³ на відрізку [-2; 0].

Варіант 9

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -5х² + 2х – 6.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 4х³ – 6х² +1.

3. Дослідіть функцію у = х³ – 12х та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – х² +2 у точці з абсцисою

x_o = -1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х+ на відрізку [1; 4].

Варіант 10

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² - 2х + 5.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 3х² - 4.

3. Дослідіть функцію у = 2х - х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ + 3х² +4 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - х на відрізку [1; 5].

Варіант 11

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 3х + 8.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 8х² - х³.

3. Дослідіть функцію у = 2х⁴ - 4х² та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 2х – х³ - 6 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 4:х на відрізку [0; 3].

Варіант 12

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -3х² + 6х - 9.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х²+4.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ – 4х³+1 та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 6х² -2 у точці з абсцисою

x_o = -3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 8х - х³ на відрізку [-2; 1].

Варіант 13

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² + 3х – 6.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 6х³ – х²+2.

3. Дослідіть функцію у = 2х³ – х - 2 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 2х² +2 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 2х+ на відрізку [1; 4].

Варіант 14

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 4х +7.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 12х².

3. Дослідіть функцію у = 4х - х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 1 - х³ - 3 х² у точці з абсцисою

x_o = 3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - х на відрізку [1; 5].

Варіант 15

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² -3х - 8.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 5х² - х³- 6.

3. Дослідіть функцію у =2х⁴ - 4х²+1 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – 4х³ – 4 у точці з абсцисою

x_o = 2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 4х на відрізку [0; 4].

Варіант 16

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -4х² + 3х + 4.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 8х² - 4.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ – 4х³ – 2 та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 4х³ – 5х² - 4 у точці з абсцисою

x_o = -2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 8х - х³ - 2 на відрізку [-2; 1].

Варіант 17

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -х² + 8х – 7.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ – 6х²+4.

3. Дослідіть функцію у = х³ – 2х та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – х² – 5 у точці з абсцисою

x_o = -1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 5х+ на відрізку [1; 3].

Варіант 18

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² - 2х - 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 3х²+4.

3. Дослідіть функцію у = 3х - 2х³ та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ + х² – 5 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - 2х на відрізку [1; 5].

Варіант 19

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 12х + 4.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 4х² - х³+3.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ - 4х² - 2 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 2х – х³ +4 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 3х +3 на відрізку [0; 3].

Варіант 20

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -х² - 6х - 4.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х² +4.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ – 4х³ +1 та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 6х² - 3 у точці з абсцисою

x_o = -3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 3х - х³ на відрізку [-2; 1].

Варіант 21

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² + 2х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ – х² - 2.

3. Дослідіть функцію у = 2х³ – х +1 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – 2х² – х у точці з абсцисою x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у =4 х+ на відрізку [1; 4].

Варіант 22

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 7х - 4.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 2х²+4.

3. Дослідіть функцію у = 12х - х³ - 3 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ - 3 х² - 4 у точці з абсцисою

x_o = 1.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - 3х на відрізку [1; 3].

Варіант 23

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 4х² +2х + 3.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 4х² - х³ - 4.

3. Дослідіть функцію у =х⁴ - 4х² – 4 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – 4х³ +1 у точці з абсцисою

x_o = 2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 3х на відрізку [0; 3].

Варіант 24

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -2х² + х + 1.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ - 2х²+ 3.

3. Дослідіть функцію у = 3х⁴ – х³ +1 та побудуйте її графік

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 4х³ – 6х² +2 у точці з абсцисою

x_o = -2.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 5х - х³ на відрізку [-2; 1].

Варіант 25

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = -х² + 4х – 5.

2. Знайдіть екстремуми функції у = х³ – 6х² - 6.

3. Дослідіть функцію у = х³ – 3х+3 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ – х² - 3 у точці з абсцисою

x_o = -3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = 8х+ на відрізку [1; 4].

Варіант 26

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = х² - 4х +5.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х³ - 3х² +5.

3. Дослідіть функцію у = 3х - х³ +3 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х³ + х² + 5 у точці з абсцисою

x_o = 4.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = - 5х на відрізку [1; 3].

Варіант 27

1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції у = 3х² - 2х + 5.

2. Знайдіть екстремуми функції у = 2х² - х³+4.

3. Дослідіть функцію у = х⁴ - 4х² – 2 та побудуйте її графік.

4. Складіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = 12х – х³ +5 у точці з абсцисою

x_o = 3.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = х³ - 4х - 1 на відрізку [0; 2].