Теоретические материалы по темам

Раздел 2. Математический анализ (1 часть)

Тема 2.1. Функции.

2.1.1. Понятие величины и множества

Понятие величины настолько широко и всеобъемлюще, что ему трудно дать точное определение. Массы, объемы работ, нормативы, объемы наличия ресурсов, целые и дробные чис­ла – все это примеры величин. На первой стадии величиной можно считать то, что, выраженное в определенных единицах (например, масса – в граммах или тоннах и т.п.), характеризуется своим числен­ным значением. Так, площадь круга является величиной, поскольку она, выраженная, например, в квадратных сантиметрах, полностью характеризуется своим численным значением; сам круг, конечно, не является величиной, так как для него характерна опре­деленная форма, которая не выражается каким-либо числом.

За последние годы многие понятия, ранее воспринимавшиеся лишь качественно (такие, например, как эффективность, количество информации и даже степень правдоподобия), «повышены в должности» и переведены в разряд величин. Каждый такой перевод является радостным событием, так как он дает возможность применить к указанным понятиям количественный математический анализ, что часто оказывается очень эффективным.

Размерностью величины назы­вается та единица, через которую эта величина выражена. Так, раз­мерностью массы обычно служит грамм или килограмм; размер­ностью площади – квадратный сантиметр или квадратный метр и т. п.

Складывать или вычитать можно только величины одинаковой размерности, причем размерность суммы такая же, как раз­мерность слагаемых. Множить или делить друг на друга можно ве­личины любой размерности, при умножении (или делении) вели­чин их размерности тоже множатся (или соответственно делятся).

Часто рассматриваются величины безразмерные («отвлеченные»). Так, отношение двух величин одинаковой размерности является безразмерным.

При исследовании величин часто применяется понятие абсолютного значения величины:

׀а׀=а, если а0; ׀а׀= –а, если а<0.

Например, ׀5׀=׀–5׀=5. Значение ׀а–b׀=׀b–а׀ равно расстоянию между точками а и b на числовой оси.

Величина, участвую­щая в некотором рассмотрении, может либо принимать различные значения, либо принимать одно определенное значение; в первом случае она называется переменной величиной, а во втором – посто­янной (константой). Так, при рассмотрении инвестиционного проекта прибыль в различных периодах есть величина переменная, тогда как коэффициент дисконтирования (процентная ставка использования денежных средств) в разных периодах можно с дос­таточной точностью считать величиной постоянной. Другой пример: при рассмотрении процесса спроса и предложения цены и объемы продаж будут величинами пере­менными, а бюджетное ограничение – постоянно. Впрочем, надо иметь в виду, что в любом реальном процессе и эта последняя вели­чина несколько меняется, и только если это изменение незначитель­но и несущественно для остального, можно условно, схематизируя процесс, принять ее за постоянное. И в других случаях постоян­ство тех или иных величин обычно является лишь условным; об этом надо время от времени вспоминать, так как если считать пос­тоянной величину, изменение которой невелико, но существенно для рассмотрения, то можно прийти к ошибочным выводам (что неод­нократно бывает).

Величина, постоянная в одном рассмотрении, может в другом аналогичном рассмотрении принимать другое значение или даже быть переменной. Такие постоянные величины называются параметрами данного рассмотрения; они являются его характеристи­ками. Так, в процессе стратегического планирования на предприятии ресурсные ограничения, номенклатура продукции служат параметрами. При выборе оптимального размера уровня запасов товаров на складе параметрами служат суточная потребность, единичные затраты на пополнение склада, на хранение и на компенсацию дефицита. Конечно, здесь име­ются и другие параметры, которые иногда приходится принимать во внимание (например, габариты товара, склада), но обычно именно эти считаются основными; и в других случаях важно уметь выделить из всевоз­можных параметров, характеризующих тот или иной объект или процесс, основные, наиболее важные параметры.

Для описания самих объектов, которые измеряются соответствующими величинами, вводится понятие множества. Свойства различных множеств и действий с ними изучает теория множеств, занимающая центральное место в математике как логическая основа всех математических дисциплин.

Понятие множества является одним из основных первич­ных понятий современной математики. В жизни мы постоянно встречаемся с этим понятием. Оно возникает как абстракция того факта, что предметы материального мира существуют не изолиро­ванно, а в составе совокупностей предметов. Мы говорим о мно­жестве студентов в аудитории, о множестве экономических объектов или их показателей, о множестве точек на прямой линии, о множестве целых чисел. Можно рассматривать также множество букв на данной странице, множество городов России, множество планет солнечной системы, множество точек, лежащих на некоторой окружности.

Каждое множество состоит из элементов. В зависимости от их числа множества делятся на конечные и бесконечные. Так, множество целых чисел содержит бесконечно много элементов; его элементами являются все целые числа (положительные, отри­цательные и нуль). Для записи множества используют фигурные скобки, а элементы множества отделяют друг от друга запятыми, например, множество целых чисел записывается следующим образом:

Z={...,-п,...,-3,-2,-1,0, 1,2, ....,п,...}.

В дальнейшем мы будем часто встречаться с множеством це­лых положительных чисел N= {1, 2, 3,..., n,...}.

Целые положительные числа называются натуральными. Множество натуральных чисел бесконечно.

Множество всех действительных чисел будем обозначать R.

Множество городов России состоит из конечного числа элементов: Москва, Челябинск, Мурманск, Новосибирск и другие. Множество букв, входящих в слово число, состоит из пяти элементов: ч, и, с, л, о.

Конечные множества могут состоять из одного или нескольких элементов или вообще не содержать элементов. Дело в том, что, говоря о каком-либо множестве (например, о множестве корней данного уравнения или о множестве точек пересечения прямой и окружности), мы часто не знаем заранее, содержит ли это множе­ство хотя бы один элемент. Поэтому для сохранения общего ха­рактера суждений целесообразно ввести понятие пустого мно­жества, обозначаемого знаком .

Приведем еще несколько примеров.

Рассмотрим множество студентов первого курса, фамилии ко­торых начинаются с буквы А. Если есть 20 таких студентов, то они образуют множество из 20 элементов. Если бы оказалось, что есть только один студент, фамилия которого начинается с буквы А, то мы имели бы множество, состоящее из одного элемента; если бы на первом курсе не было ни одного студента с фамилией, начи­нающейся на букву А, то мы имели бы множество, которое не содержит ни одного элемента, т. е. пустое множество .

Дано уравнение х²–3х+2=0. Рассмотрим множество его действительных корней. Корнями уравнения являются чис­ла 1 и 2. Значит, множество действительных корней уравнения со­стоит из двух элементов и записывается {1, 2}.

Пусть дано уравнение х²+1=0. Как известно, нет действительных чисел, квадрат которых равен –1. Значит, множество действительных корней уравнения х²+1=0 – пустое множество .

Будем обозначать множества прописны­ми буквами А, В, С, ..., М, N,..., а элементы – строчными а, в, с,..., т, п,..., х, у, z. То обстоятельство, что объект х входит в множест­во А, будем обозначать хА. Запись хА означает, что х не является элементом множества А. Задать множество – значит указать каким-либо способом, из каких элементов это множество состоит. Можно задать множество перечислением всех его элементов. Например, образуем множество из чисел 5, 8, 23. Это будет множество {5, 8, 23}.

Другой имеющий наиболее важное значение способ задания множества состоит в указании общего свойства, которым обладают все элементы данного множества. Например, А – множество нату­ральных чисел, делящихся на 3:

А={3,6, 9, ...,3п,...}.

Элементы, из которых состоит данное множество, сами могут быть множествами. Рассмотрим, например, множество студенческих групп на первом курсе. Его элементами являются группы. Каждая группа в свою очередь – множество студентов.

Рассмотрим два множества {1, 2, 3, 4} и {4, 1, 3, 2}. Они со­стоят из одних и тех же элементов, записанных в разном порядке. Равны ли эти множества? Ответ на этот вопрос зависит от того, какие множества называть равными, т. е. от того, как опреде­лить равенство в теории множеств.

Обычно говоря о множестве, например, о множестве студентов в группе, деревьев в лесу, книг в библиотеке и др., мы интересуем­ся только тем, из каких элементов оно состоит, и не думаем о по­рядке расположения элементов. Это обстоятельство находит свое отражение в определении равенства двух множеств. Два множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является в то же время элемен­том множества В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

Другими словами, два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Таким образом, множества {1, 2, 3, 4} и {4, 1, 3, 2} равны.