Статистический критерий. Ошибки 1-ого и 2-ого рода. Мощность критерия.

Проверка нулевой гипотезы осуществляется при помощи статистического критерия – специально подобранной случайно величины К, которая при справедливость Н₀ имеет известный вид распределения (например, Х² Стьюдента)

Таким образом, правило, по которому гипотеза Н₀ отвергается или принимается, называется статистическим критерием.

Поскольку состав выборки случаен, всегда существует риск принять ложные решения, отбросить правдоподобную гипотезу Н₀, в то время как в действительности она верна (ошибка 1го рода) или принять гипотезу Н₀, в то время как она неверна, а верна какая-либо иная гипотеза Н₁ (ошибка 2го рода) Вероятность совершить ошибку 1го рода называют уровнем значимости .

Вероятность совершить ошибку 2го рода, должна быть мала. Величина 1- называется мощностью критерия К: это вероятность того, что ложная гипотеза Н₀ будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза Н₁.

Критическая область. Правило проверки основной гипотезы.

В зависимости от вида Н₁ множество всех возможных значений случайной величины К разбивается на 2 непересекающихся подмножества. Одно из них (критическая область W) содержит значения К, при которых гипотеза Н₀ отвергается в пользу гипотезы Н₁, другая (область принятия гипотезы или доверительная область) – значения К, при которых гипотеза Н₀ принимается. Точки, отделяющие область W от доверительной области, называют критическими.

Критические точки отыскиваются исходя из требования , т.е. при условии справедливости гипотезы H₀ вероятность величине К попасть в область W была равна принятому уровню значимости . Если выбран наиболее мощный критерий, то при этом минимизируется ошибка 2го рода:

Основное правило проверки нулевой гипотезы: Если найденые по заданным значениям критерия Кнабл. Принадлежит критической области W, то нулевую гипотезу Н₀ отвергают, если оно принадлежит доверительной области, то гипотезу принимают.

Принятие гипотезы не следует понимать как доказательноство её истинности – это означает лишь то, что данные выборки не противоречат гипотезе.

Проверка гипотезы о законе распределения.

Одной из важнейших задач мат.статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по эмпирическому распределению, представляющему вариационный ряд. Предположение о виде закона распределения может быть выбвинуто исходя из теоретических предположений, опыта, на основании графического изображения эмпирического распределения.

Параметры распределения как правило неизвестны, поэтому их заменяют наилучшими оценками по выборке. Как бы хорошо не был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическии и теоретическим распределением неизбежно расхождение. Для ответа на вопрос: связаны ли эти расхождения с ограниченным числом наблюдейний, и являются случайными, или связаны с тем что теоретический закон подобран неудачно и поэтому расхождение существенно служат критерии согласия.

Для проверки гипотезы выбирают некоторую случ.величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений. В наиболее часто используемом на практике критерии Х² Пирсона в качестве меры расхождения U берётся величина Х² равная сумме квадратов отклонений статистических вероятностей w_i=n_i/n от теоретических p_i, взятых с некоторыми весами C_i: . Пирсон выбрал в качестве весов число .

Схема применения критерия для проверки гипотезы:

1. Определить меру расхождения эмпирических и теоретических частот по формуле : , числа n_i и np_i называют соответственно эмпир. и теоретич. Част.

2. Для выбранного уровня значимости по табл -распределения находят критическое значение _крит при числе степеней свободы k=l-r-1, где l – число интервалов, r – число параметров теоретического распределения.

3. Если фактически наблюдаемое значение _набл больше критического, то гипотеза Н₀ отвергается, если меньше, то гипотеза Н₀ не противоречит опытным данным.