Понятие интервальной оценки и доверительного интервала.

Как правило требуется не только найти величину параметра закона распределения генеральной совокупности, но и оценить её точность и надёжность. Метод интервальных оценок был развит Нейманом, и применяется для указания разброса параметра массового изделия.

Для определения точности оценки используют понятие доверительного интервала.

Доверительным интервалом называют такой интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью . Надёжностью называют вероятность того, что отклонение оценки от истинного значения параметра не выйдет за наперёд заданые значение.

Доверительный интервал обозначается , его длина = 2 . .

Доверительной вероятностью называют вероятность того, что доверительный интервал покроет истинное значение.

Величина доверительного интервала существенно зависит от обьёма выборки n (уменьшается с её ростом) и от значения доверительной вероятности. (увеличивается с приближением к 1)

Построение интервальных оценок мат.ожидания для случая, когда дисперсия известна.

Пусть известна, например из предшествующего опыта или теоретичских соображений. Требуется оценить неизвестное математ. Ожидание по выборочному среднему , т.е. найти доверительный интервал включающий в себя с надёжностью

Выборочное среднее будем рассматривать как случайную величину , т.к. значения меняются от выборки к выборке. Случайная величина , также как и генеральная совокупность подчинена нормальному закону распределения.

Доверительный интервал находят след.образом:

1. По заданному значению из равенства по табл. Функции Лапласа находят значение t.

2. Из формулы находят точность и доверительный интервал , который с доверительной вероятностью включается в себя значения математического ожидания из генеральной совокупности.

Построение интервальных оценок мат.ожидания для случая, когда дисперсия неизвестна.

Пусть неизвестна. Требуется оценить матем.ожидание . В этом случае рассмотрим величину: , где , , S – исправленная оценка среднеквадратичного отклонения. Доказано, что при нормальном распределении величина Т подвиняется закону распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы.

1. По заданному значению из равенства по табл распределения Стьюдента с учетом числа степеней свободы n-1 находят значение t_b.

2. Из формулы находят точность и доверительный интервал , который с доверительный вероятностью включает в себя значение математического ожидания из генеральной совокупности.

Построение интервальных оценок для дисперсии.

Рассмотрим несмещённую оценку дисперсии. Доказано, что случайная величина V имеет распределение с n-1 степенью свободы, если случайная величина X распределена нормально. Зная закон распределения величины V, можно найти интервал l_b,­ в который она попадёт с заданной вероятностью .

Чтобы построить интервал l_b с таким свойством выполним следующую последовательность действий:

1. По заданному значению по таблице критических точек для n-1 степеней свободы определяют значение и ; (значения критерия Пирсона.)

2. Из равенства имеем: или Разрешим полученные неравенства относительно : Таким образом, интервал является доверительным интервалом, который с надёжностью включается в себя значение дисперсии из генеральной совокупности. Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения будет иметь вид:

Виды статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется предположение о виде или свойствах генерального или выборочного распределения, которое можно проверить статистическими методами на основе имеющейся выборки.

Статистическая гипотеза называется простой, если она содержит только одно предположение. В противном случае гипотеза называется сложной. Нулевой гипотезой называют основную выдвинутую гипотезу Н₀. Конкурирующей гипотезой называют альтернативную гипотезу H₁, противоречащую гипотезе Н₀.

При проведении статистических исследований возникают различные вопросы о свойствах генерального распределения и выборки. Для ответов на эти вопросы выдвигаются гипотезы, требующие статистической проверки на основе полученной выборки. Наиболее важные гипотезы:

1. Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей. Например, она возникает когда нужно проверить, одинаковые ли средние значения основных параметров изделий, производимых двумя станками, участками, цехами.

2. Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей. Например, следует сравнить точность двух измерительных приборов, разброс значений контролируемого параметра при массовом производстве продукта на двух участках.

3. Гипотеза о законе распределения генеральной совокупности. Эта гипотеза может возникнуть на основе теоретических соображений, имеющегося опыта исследований или на основе изучения гистограммы выборки.

4. Гипотеза об однородности выборки, об отсутствии в ней выбросов.