Задача точечного оценивания и предъявляемые к оценке требования.

Оценкой параметра называют такую функцию случаных величин (Х₁,Х₂…Х_n), значение которой, найденное по наблюдениям, примерно равно искомому параметру , т.е. . Функция называется выборочной функцией.

Задача точечного оценивания, т.к. оценивания параметра одним числом, заключается в нахождении такой выборочной функции , которая даёт наилучшее приближение оцениваемого параметра .

Для этого выборочная функция должна обладать след. Свойствами: несмещённость, состоятельность и эффективность:

1. Оценка параметра называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.к. М( )= . В противном случае оценка называется смещённой, и приводит к систематическим ошибкам.

2. Несмещённая оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того объёма n, т.е. D( ) --> min.

3. Оценка параметра называется состоятельной, если при n стремящемся к бесконечности, она сходится по вероятности к оцениваемому параметру т.е.

Оценки мат.ожидания и дисперсии. Исправленная выборочная дисперсия.

Выборочное среднее , следовательно:

Таким образом получаем:

Проверим, будет ли выборочная дисперсия удовлетворять св-ву оптимальности оценки: = .

Тогда:

При больших n (n>=30) расхождением пренебрегают, а при малых выборках «исправляют», введя поправку n/n-1 (поправка Бессиле). Таким образом запишем исправленную выборочную дисперсию: или , которая является несмещённой оценкой для :

Методы нахождения точечных оценок.

Рассмотрим основные методы нахождения точечных оценок по данным случайной выборки:

1) Метод моментов: опреденное кол-во выборочных моментов (начальных или центральных, или и тех и других) приравнивается к соответсвующим теоретическим моментам распределения случайно величины Х.

Выборочные моменты определяются : - начальный момент k-го порядка.

- центральный момент k-го порядка. Очевидно что: и т.е средняя выборочная является начальным моментом 1-го порядка вариационного ряда, а центральный момент 1-го порядка равен 0 для любого распределения, а 2-го порядка является средней дисперсией вариационного ряда.

2) Метод максимильного правдоподобия (ММП): основа – функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности или вероятность совместного появления результатов выборки.

Согласно ММП в качестве оценки неизвестного параметра принимается такое значение , которое максимизирует функцию L. Таким образом решается урпавнение: при условии . Удобно ввести логарифмическую функцию правдоподобия, поскольку максимум обеих функций достигается при одном и том же значении ,а нахождение упрощается. Решается уравнение или , а затем отбирается решение, которое обращает функцию lnL в максимум.

Таким образом, оценками ММП мат.ожидание и дисперсии нормального распределения случайной величины являются соответственно выборочная средняя х и выборочная дисперсия.

3) Метод наименьших квадратов (МНК): заключается в том, что оценка определяется из условия минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от определяемой оценки. МНК получил самое широкое распространение в практике статистических исследований, т.к. во первых не требует знания закона распределения выборочных данных, во вторых – достаточно хорошо разработан в плане вычислительной реализации.