6. Принцип линейности при составлении математических моделей

Этот принцип можно сформулировать так:

В малом все линейно.

Фактически этот принцип уже использовался нами в курсе матана, в этом курсе было сказано, что приращение, любой «хорошей» функции, линейно с точностью до бесконечно – малых, чем приращение аргумента, при этом там нам указывалось, что

.

Т. о., было указано, что любая кривая (дуга ) в окрестности другой т. примерно совпадает с графиком прямой (ее касательной).

7. Примеры использования принципа линейности в физике

Этот принцип можно сформулировать так:

В малом все линейно.

Фактически этот принцип уже использовался нами в курсе матана, в этом курсе было сказано, что приращение, любой «хорошей» функции, линейно с точностью до бесконечно – малых, чем приращение аргумента, при этом там нам указывалось, что

.

Т. о., было указано, что любая кривая (дуга ) в окрестности другой т. примерно совпадает с графиком прямой (ее касательной).

Теперь мы хоти написать формулу зависимости длины стержня от его температуры. Длину стержня будем обозначать через l, а температуру – T.

Т. о.,

8. Рост численности изолированной популяции без внутренней конкуренции

Пусть в некотором ареале обитает особей некоторой популяции. Требуется построить прогноз численности этой популяции в будущем в произвольный момент времени . Будем считать, что социальные и психологические факторы не влияют на численность популяции. Будем также считать, что запасы пищи и «место под солнцем» бесконечны.

Решение:

Прежде всего, посчитаем количество особей в момент времени , обозначим его через .

Тогда ‒ количество особей в момент времени .

Значит - это и есть приращение функции за время .

число родившихся за время минус число умерших за время (число родившихся за единицу времени) (число умерших за единицу времени)

.

Перейдем в этом соотношении к пределу при

Решением задач (1) - (2) является:

t	0	1	2	3

Геометрическая прогрессия с

9. Рост численности изолированной популяции с внутренней конкуренцией. Уравнение Ферхюльста-Перла

Пусть в некотором ареале обитает особей некоторой популяции. Требуется построить прогноз численности этой популяции в будущем в произвольный момент времени . Будем считать, что социальные и психологические факторы не влияют на численность популяции. Будем также считать, что запасы пищи и «место под солнцем» ограничено.

Решение:

Пусть каждому моменту соответствует некоторая определяемая численность . Будем считать эту функцию дифференцированной. Тогда скорость роста численности популяции, как всегда, есть производная

Если запасы пищи и «место под солнцем» бесконечны, то это скорость . Но т.к. в нашем случае пространство и запасы пищи ограничены, то эта скорость будет меньше на эту величину:

.

Это что-то зависит от тесноты. Плотность будем характеризовать количеством встреч между особями. Наша задача сводится к решению задачи Коши: , где -постоянные.

- коэффициент внутренней конкуренции или коэффициент самоотравления популяции.

- естественная относительная скорость роста популяции.

(1)

Задача решена. Уравнение (1) и есть уравнение Ферхюльста-Перла.