1. Развитие понятия числа

При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число. Делить ее на доли не нужно, а часто и нельзя (при счете камней прибавление к двум камням половины третьего дает 3 камня, а не 2½ , а избрать президиум в составе 2½ человека — невозможно). Однако делить единицу на доли приходится уже при грубых измерениях величин, например при измерении длины шагами (2½ шага и т.д.). Поэтому уже в отдаленные эпохи создалось понятие дробного числа. В дальнейшем оказалось необходимым еще более расширить понятие числа. Последовательно появились числа иррациональные, отрицательные и комплексные. Довольно поздно к семье чисел присоединился нуль. Первоначально слово нуль означало отсутствие числа (буквальный смысл латинского слова nullum – «ничто»). Действительно, если, например, от 3 отнять 3, то не остается ничего. Для того, чтобы это «ничего» считать числом, появились основания лишь в связи с рассмотрением отрицательных чисел.

2. Понятие вектора. Как увидеть вектор в жизни

Вектор – это элемент векторного пространства, ярким представителем векторов является направленный отрезок.

Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила.

Вектор характеризуется следующими элементами:

1. начальной точкой;

2. направлением;

3. длиной.

Нулевой вектор – точка в пространстве.

Вектор в жизни: стрелки в часах, стрелки в метро.

3. Фазовое пространство

Пусть имеется некоторая реальная система, эта система может пребывать в различных состояниях. Будем описывать состояние этой системы, определенной математическими объектами (числа, векторы, матрицы, функции). Будет изменятся состояние системы, соответствующим образом будут изменятся и математические объекты. Обычно для краткости, сами эти математические объекты называются состоянием. Совокупность этих состояний (мат. объектов) называется фазовым пространством системы.

4. Расширенное фазовое пространство

Пусть имеется некоторая реальная система, эта система может пребывать в различных состояниях. Будем описывать состояние этой системы, определенной математическими объектами (числа, векторы, матрицы, функции). Будет изменятся состояние системы, соответствующим образом будут изменятся и математические объекты. Обычно для краткости, сами эти математические объекты называются состоянием. Совокупность этих состояний (мат. объектов) называется фазовым пространством системы. Фазовое пространство вместе со временем называется расширенным пространством.

5. Пример Константинова (с телегами)

Из города А в город В ведут две узкие дороги. Известно, что две телеги, связанные между собой веревкой длиной l, проехали из города А в город В и при этом веревки не порвались. Разминутся ли два воза, каждый шириной l, если один воз едет из А в В по одной дороге, а другой из В в А по другой дороге.

Решение:

Пусть на первой дороге есть какая-то точка, тогда отношения расстояния от города А до телеги, отсчитываемое по первой дороге и разделенное на длину всей дороги, обозначим через x. Т. о., x может принимать любое значение (0; 1), через у обозначим отношение расстояния от А до телеги, находящейся на второй дороге. Рассчитаем на второй дороге и делим на длину всей дороги. Т. о., у принимает значение (0; 1).

Т. о., любая упорядоченная пара (х, у) будет описывать состояние нашей системы.

Это значит, что фазовым пространством нашей системы будет служить квадрат со стороной 1.

A

B

M

O

C

1. Рассмотрим ситуацию, когда обе телеги едут из города А. Это соответствует т. О на рисунке, когда телеги заехали в другой город, то эта конечная точка процесса будет соответствовать точке В. Весь процесс их езды будет описываться некоторой линией, соединяющей т. О и В, причем непрерывной линией.

2. Пусть первый воз находится в одном городе, а второй – в другом. Здесь первоначальное состояние соответствует т. С, тогда весь процесс соответствует непрерывной линии, которая соединяет т. А и С.

Линия АС обязательно пересечет хоть в одной точке линию ОВ. Это значит, что в соответствующей точке М возы не разъедутся.