15.Вывод основного закона динамики вращательного движения.
Рис. 8.5. К выводу основного уравнения динамики вращательного движения.
Динамика вращательного движения материальной точки. Рассмотрим частицу массы m, вращающуюся вокруг токи О по окружности радиуса R, под действием результирующей силы F (см. рис. 8.5). В инерциальной системе отсчета справедлив 2ой закон Ньютона. Запишем его применительно к произвольному моменту времени:
F = m·a.
Нормальная составляющая силы не способна вызвать вращения тела, поэтому рассмотрим только действие ее тангенциальной составляющей. В проекции на тангенциальное направление уравнение движения примет вид:
Ft = m·at.
Поскольку at = e·R, то
Ft = m·e·R (8.6)
Умножив левую и правую части уравнения скалярно на R, получим:
Ft·R= m·e·R2 (8.7) M = I·e. (8.8)
Уравнение (8.8) представляет собой 2ой закон Ньютона (уравнение динамики) для вращательного движения материальной точки. Ему можно придать векторный характер, учитывая, что наличие момента сил вызывает появление параллельного ему вектора углового ускорения, направленного вдоль оси вращения (см. рис. 8.5):
M = I·e. (8.9)
Основной закон динамики материальной точки при вращательном движении можно сформулировать следующим образом:
произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку.
16.Момент инерции тела относительно оси. Момент инерции кольца, диска.
Момент
инерции тела относительно оси определяется
согласно формуле
и,
если известно pаспpеделение масс частей
тела относительно оси, он может быть
найден прямым вычислением. Однако эта
задача, особенно в случае неоднородности
тела, может оказаться весьма сложной.
Она, очевидно, сводится к интегрированию.
Конечно, с помощью компьютера интеграл
можно вычислить, но аналитически моменты
инерции обычно вычисляют лишь для
простейших случаев однородных тел.
Рассмотрим несколько пpимеpов такого
pода.
Момент
инерции тонкого кольца относительно
оси, проходящей через центр кольца
пеpпендикуляpно к его плоскости. В этом
случае все элементарные массы кольца
удалены от оси на одинаковое расстояние,
поэтому в сумме r2
можно вынести за знак суммы, т. е.
Момент
инерции сплошного диска (или цилиндра)
относительно оси симметрии диска
(цилиндра).
Разобьем диск на
бесконечно тонкие кольца. Момент инерции
отдельного кольца выражается так: dm r2
,
где dm - масса кольца, r - его радиус.
Тогда момент инерции диска находится
интегpиpованием:
Чтобы
вычислить интеграл, введем поверхностную
плотность диска:
Тогда
элементарную массу кольца можно выразить
следующим образом:
Теперь
можно вычислить момент инерции диска:
17.Момент инерции шара. Теорема Штейнера.
Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.
Сначала
найдем момент инерции
относительно
центра шара. Он равен:
.
В этом случае
.
В результате находим момент инерции
полого шара относительно его диаметра:
.
Момент инерции сплошного однородного шара.
Сплошной
шар можно рассматривать как совокупность
бесконечо тонких сферических слоев с
массами dm , так как шар по предположению
однороден, то
,
где
(36),
объем сферического слоя, а
(37)
- объем шара. Момент инерции сферического
слоя относительно диаметра равен:
.
Интегрируя, получим момент инерции
сплошного шара:
.
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Если
—
момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр масс тела, то
момент инерции относительно параллельной
оси, расположенной на расстоянии
от
неё, равен
,
где
—
полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
