Физика 2-3

1

Проф. А.Н. Власов. Материалы лекций по курсу «ОБЩАЯ ФИЗИКА», 2016

Часть 2. Электричество и магнетизм.

Лекция № 3

Тема лекции:

Расчёты в электростатике

План:

1.Электростатическая теорема Остроградского-Гаусса………………………1

2.Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа………………………………….7

3.Пример 1. Сферический объёмный заряд……….…………………………..9

4.Пример 2. Проводник в электростатическом поле…………….…………..13

5.Поле в присутствие проводника………………...……………….………….20

1.ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

Теорема Гаусса—Остроградского для электростатики может быть сформулирована следующим образом:

электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность S в однородной изотропной

и линейной среде пропорционален электрическому заряду q , заключенному внутри поверхности».

В системе СИ коэффициент пропорциональности равен 1 0 .

1

2

В интегральной форме теорема ОстроградскогоГаусса может быть представлена в виде:

Эта теорема играет важную теоретическую и практическую роль в электростатике.

Доказательство теоремы.

Рассмотрим вначале частный случай, когда внутри замкнутой поверхности S находится один точечный заряд q (рис. 1).

Рис. 1

Рассмотрим малый элемент поверхности, характе-

которого находится в точке расположения заряда и

ношением:

2

дает величину этого угла, т.е.

Чтобы получить поток через всю замкнутую поверхность S, надо проинтегрировать (4) по телесному

результат интегрирования дает:

(5)

Результат (5) может быть обобщён на случай произвольной системы зарядов внутри замкнутой поверхности S.

Исходя из принципа суперпозиции (См. предыдущ. лек.) любую систему зарядов можно представить в виде совокупности точечных зарядов. Для каждого из них имеет место соотношение (5), из чего с учётом (2) следует:

(6)

3

4

Просуммируем соотношение (6) по всем зарядам:

созданного в точках поверхности S всеми зарядами:

Сумма зарядов представляет собой полный заряд

На основании (6), (7), (8) и (9) получаем (1), что и требовалось доказать.

Если заряд находится вне замкнутой поверхности,

то интеграл в выражении (5) равен нулю.

Следовательно, поток ФЕ, создаваемый внешним зарядом q через любую замкнутую поверхность, равен

нулю.

Получим дифференциальную форму теоремы.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое непрерывным распределением заряда с объемной плотностью q . В окрестности произвольной точки

ограничивающую объем V и содержащую в себе заряд

4

С учётом определения дивергенции (См. л. 1, ф. 2) и определения плотности заряда (См. л. 2, ф. 1) формула (11) может быть приведена к выражению, которое называют «дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса»:

Физический смысл электростатической теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она выражает закон создания электрических полей действием

неподвижных электрических зарядов в однородных линейных и изотропных средах.

В интегральной форме теоремы этот закон выражен применительно к замкнутой поверхности конечных размеров, в дифференциальной форме — применительно к точке. Например, в правой части (12) стоит величинаq x, y, z , характеризующая распределение заряда в

5

6

пространстве, а в левой части стоит дивергенция напряженности того электрического поля, которое создано этим зарядом.

Практический аспект теоремы ОстроградскогоГаусса состоит в том, что с ее помощью рассчитываются электростатические поля, создаваемые симметричными распределениями зарядов. В таких полях для применения теоремы в интегральной форме (1) могут быть выбраны замкнутые поверхности, на которых интеграл в (1) превращается в произведение:

(13)

пронизывается полем. Для этого надо, чтобы во всех точках этой части вектор напряженности был перпендикулярен к поверхности и имел одинаковую величину.

6

7

2. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА И УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА

Для расчета электростатических полей принято теорему Остроградского-Гаусса в локальной форме (12) представлять в виде дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, записанного относительно потенциала . Это уравнение, называемое

уравнением Пуассона, получается подстановкой

Впрямоугольных декартовых координатах

Уравнение Пуассона считается основным дифференциальным уравнением электростатики.

Если заряд распределен с плотностью q в ограниченной области V однородной изотропной среды,

7

8

то решение уравнения Пуассона можно представить в виде (См. ф.7, л.3).

(18)

Далее вычисляются составляющие вектора E

(19)

и вектор

(20)

При заданных граничных условиях решение уравнения Пуассона является единственным и согласуется с результатами экспериментальных исследований электростатического поля.

Уравнение Лапласа является частным видом

В прямоугольных декартовых координатах уравнение

Лапласа имеет вид:

8

9

3. Пример 1. СФЕРИЧЕСКИЙ ОБЪЁМНЫЙ ЗАРЯД

Дана сферическая область пространства радиуса R, равномерно заряженная с объемной плотностью

однородность и изотропность свойств среды.

Требуется найти напряженность и потенциал электрического поля внутри области и вне ее.

Рис. 2

Заданное распределение заряда создает поле сферической симметрии, характеристики которого

Для решения задачи будем использовать теорему Гаусса—Остроградского. В этом случае во внутренней области (заштрихованная область 1 на рис.2) выбираем вспомогательную поверхность в виде сферы радиуса r , меньшего, чем радиус заряженной области, т. е. r R.

Заметим, что в силу симметрии вектор напряженности во всех точках этой сферы

9

10

перпендикулярен к ней и одинаков по величине.

S

Подставляя (18) и (19) в (1), получаем теорему Остроградского-Гаусса применительно к выбранной поверхности:

Для решения задачи относительно внешней области (область 2 на рис. 1) радиус вспомогательной сферы должен быть больше радиуса области, т. е. r R . Особенность внешней области в том, что при любом r R заряд внутри вспомогательной сферы один и тот же, он равен полному заряду области:

Поэтому выражение (1), соответствующее теореме Остроградского-Гаусса, приобретает с учётом (18) и (22) вид:

откуда получаем решение для внешней области:

10