25.Релятивистский закон преобразования скорости. Релятивистский импульс.

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K' вдоль оси x' движется частица со скоростью Составляющие скорости частицы u'_x и u'_z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:

 

Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K'.

При υ << c релятивистские формулы переходят в формулы классической механики:

ux = u'x + υ,  uy = 0,  uz = 0.

 

Если в системе K' вдоль оси x' распространяется со скоростью u'_x = c световой импульс, то для скорости u_x импульса в системе K получим

 

Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.

Релятивистский импульс

В теории относительности импульс определяется по формуле

В еличину

называют релятивистской массой, измеренной и ИСО, относительно которой движется тело со скоростью υ.

Следовательно, .

При υ=c получим, что m₀=m^.0. Это уравнение имеет единственное решение: m₀=0. Т.е. со скоростью, равной скорости света может двигаться только тело, имеющее массу покоя, равную нулю. Это говорит о предельном характере скорости света для материальных тел.

26.Релятивистское уравнение динамики. Релятивистское выражение для кинетической и полной энергии. Взаимосвязь массы и энергии.

Динамика, основанная на принципах СТО, инвариантная относительно преобразований Лоренца, называется релятивистской динамикой.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) для материальной точки имеет вид:

Основной закон релятивистской динамики материальной точки записывается так же, как и второй закон Ньютона:

но только в СТО под понимается релятивистский импульс частицы. Следовательно,

 

Так как релятивистский импульс не пропорционален скорости частицы, скорость его изменения не будет прямо пропорциональна ускорению. Поэтому постоянная по модулю и направлению сила не вызывает равноускоренного движения. Например, в случае одномерного движения вдоль оси x ускорение частицы под действием постоянной силы оказывается равным

Релятивистская  динамика.  Релятивистские масса и импульс. Основной закон динамики. Связь между полной энергией и импульсом.

Требование обеспечения инвариантности такого фундаментального закона природы, как закон сохранения импульса, вынуждает перес­мотреть в СТО классическое определение импульса Р = mu = m×dr/dt. Этот важнейший закон динамики будет инвариантным законом (то есть выполнимым во всех ИСО), если заменить в определении импульса лабораторное время собственным (т. е. dt на dt_о), которое является инвариантным относительно преобразований Лоренца. Итак, в СТО, Р = m×dr/dt_о, где dt_о - промежуток времени, определяемый по часам, движущимся вместе с материальной точкой,  а dr – перемещение частицы в той ИСО, в которой определяется импульс.

T. к. dt_о = dt×Ö(l –u²/с²) , то Р = m×dr/dt_о = Р = m×(dr/dt_о)/Ö(l –u²/с²) = mu/Ö(l –u²/с²) - реляти­вистское выражение для импульса. При u <<  с оно переходит в классическое Р = mu.

Соответственно основной закон динамики материальной точки - 2-ой за­кон Ньютона будет справедливым в СТО, т. е., релятивистки инвариантным, только в форме, приданной ему самим Ньютоном: dР/dt  = F, где Р - релятивистский импульс, т. е.  Р = mu/Ö(l –u²/с²⁾;

здесь масса утрачивает прежний смысл коэффициента пропорциональности между силой и ускорением.

Некоторые авторы релятивистское толкование импульса основывают на зависи­мости массы тела от скорости его движения: m = m_о/Ö(l –u²/с²). В последнее время от этого отходят.

Закон  взаимосвязи массы и энергии.  Кинетическая энергия в релятивистской динамике.

Для получения релятивистского выражения для кинетической энергии ис­пользуем её связь с работой силы, а силу подставим из релятивистской формы основного закона динамики материальной точки:

dЕ_к = dА = Fdr = (dР/dt)dr = u×d[(mu/Ö(l –u²/с²)] = u{d(mu)/Ö(l –u²/с²) + mu×dÖ(l –u²/с²)} = u{m×du/Ö(l - u²/с²)  + m×u×(u/с²)×du/Ö(l –u²/с²)³}  = m×u×du/Ö(l –u²/с²)  + m×u³×(du/с²)/Ö(l –u²/с²)³ = [m×u×du - m×u³×(du/с²) + m×u³×(du/с²)]/Ö(l - u²/с²)³ = m×u×du/Ö(l –u²/с²)³ = d[mс²/Ö(l –u²/с²)]   Þ   Е_к = mс²/Ö(l –u²/с²) + const;

При u = 0, Е_к = 0, то есть mс²/Ö(l –u²/с²) + const = 0, откуда  const = - mс² и

  Е_к = mс²/Ö(l –u²/с²) - mс² = mс²[(1/Ö(l –u²/с²) – 1] .

При u << с, Ö(l –u²/с²) » 1 - u²/2с²  и Е_к » mu²/2  переходит в известное из механики Ньютона выражение, справедливое при малых, дорелятивистских скоростях.

Кинетическая энергия, как энергия движения, предстает в виде разности энергий, одну из которых естественно назвать полной энергией Е, а другую – E_о = mс² - энергией покоя:  Е_к = Е - Е_о.

Е = mс²/Ö(l - u²/с²) - полная энергия тела.

Из взаимосвязи массы m тела с энергией покоя Е_о = mс², следует, что всякое изменение Dm массы тела сопровождается изменением DЕ_о энергии покоя, так что DЕ_о = Dm×с² - закон взаимосвязи массы и энергии (покоя).

Энергия связи системы.

Масса образующейся составной частицы (системы) больше суммы масс ис­ходных частиц, т. к. кинетическая энергия соединяющихся частиц превращается в эквивалентное коли­чество энергии покоя. При обратном же процессе распада неподвижной частицы на составляю­щие её и разлетаю­щиеся в разные стороны частицы сумма масс образовавшихся частиц оказы­вается меньше массы исходной составной частицы на величину, равную сум­марной кинетиче­ской энергии разлетающихся частиц, деленной на с².

Связь частиц в составе более сложной частицы можно характеризовать энергией связи Е_св, численно равной работе, которую нужно затратить, чтобы преодолеть силы связи, разводя частицы на расстояние, где их вза­имодействие убывает до нуля:

Е_св  = Sm_iс² - Мс², где М - масса системы. Здесь имеет место нарушение свойства аддитивности массы.

Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Для установления взаимосвязи полной энергии с импульсом частицы, возве­дём её в квадрат и разделим на с²:                

Е = mс²/Ö(l –u²/с²)  ®  Е² – Е² u²/с² = m²с⁴  или, так как  Р = mu/Ö(l –u²/с²) = Еu/с²  Þ  

Е² – Р²с² = m²с⁴  = const, или   Е²/с² – Р² = m²с² = Inv

Энергия и импульс изменяются при переходе от одной ИСО к другой, но изменяются взаимосогласованно, образуя единую меру движения материи, на­зываемую комбинацией /тензором/ энергии - импульса. Подобно кинематическо­му инварианту - интервалу, объединив­шему в себе длину и длительность, тензор энергии - импульса образует динамический инвари­ант, объединяющий меры движения, сохранение которых тесно связано со свойствами симмет­рии пространства и времени – их однородностью.

Закон взаимосвязи массы и энергии

Полную энергию свободного тела можно определить как произведение его релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме: