32(33).Геометрическое распределение дсв. Математическое ожидание и дисперсия дсв, распределенной по геометрическому закону.

Геометрическое распределение неразрывно связано с биномиальным. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность m успехов в n испытаниях, а геометрическая - вероятность m испытаний до первого успеха (включая первый успех).

Определение 7. Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями , где

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

	1	2	3

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда (так как есть сумма геометрического ряда при ).

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Теорема 2. Математическое ожидание случайной величины , имеющей геометрическое распределение, равно , а ее дисперсия равна , где .

Пример геометрического распределения

Рассмотрим в качестве примера итерационный алгоритм вычисления квадратного корня из числа. Такой алгоритм будет заключаться в том, что проход по нему будет совершаться до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Вероятность того, что после заданного прохода эта точность будет достигнута, подчиняется геометрическому распределению. Доказательство

Пусть - вероятность того, что заданная точность будет достигнута после одного прохода. Для того, чтобы заданная точность была достигнута после n-го прохода необходимо, чтобы после всех остальных проходов она не была достигнута. Вероятность этого события равна . Кроме того, также необходимо, чтобы после следующего n-го прохода заданная точность была достигнута. Вероятность этого равна p. Итоговая вероятность определится как их произведение: . Последняя формула совпадает с формулой плотности для геометрического распределения.

34.Биноминальное распределение дсв

Биномиальный закон распределения.

Определение 6. Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения с вероятностями по формуле Бернулли:

, где .

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа наступлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью . Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

	0	1	2

Определение биномиального закона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, так как есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

.