3.Основные понятия комбинарторики. Размещения.

Элементы комбинаторики

Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

• Перестановки;

• Размещения;

• Сочетания;

Размещения

Комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или порядком элементов называют размещениями.

Обозначаются символом - количество всех имеющихся элементов; – количество элементов в каждой комбинации; .

;

Пример. Сколько существует вариантов размещения призовых мест, если в розыгрыше участвуют команд?

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из элементов и включающих по элемента (причем {I–«Таврия», II–«Динамо», III–«Спартак»} и {I–«Динамо», II–«Таврия», III–«Спартак»}– различные комбинации). Используем число размещений из элементов по :

.

Пример. Из пяти карточек с буквами О, П, Р, С, Т наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что получится слово «ТОР».

Благоприятствует событию только один исход, (комбинация букв «ТОР»).

Общее число возможных исходов – равно числу способов, которыми можно отобрать карточки из имеющихся , получая при этом комбинации букв отличающиеся либо самими буквами (СОР – ТОР), либо их порядком (РОТ – ОРТ). Оно определяется числом размещений из элементов по :

.Искомая вероятность: .

4.Понятие о случайном событии. Совместные и несовместные события.

Всякое действие, явление, реализуемое при определенном комплексе условий называют испытанием. Результат испытания называют событием.

Пример. Брошена монета – испытание;Появление герба – событие;

События обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, …

Наблюдаемые нами события можно подразделить на следующие три вида:

• Достоверные;

• Невозможные;

• Случайные;

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Монета брошена 1 раз. События: А – выпал герб и В – выпала решка несовместные.

Брошена игральная кость. События: А – выпала 1, В – выпала 2, С – выпала 3 несовместные.

События называют совместными, если появление одного из них не исключает появление других событий в одном и том же испытании.

5.Классическое определение вероятности

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.

Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы вычисления этой величины.

Рассмотрим определение, которое называют классическим.Каждый из возможных результатов испытания, т.е. каждое событие, которое может наступить в испытании, назовем элементарным исходом.Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания. ; где – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ;

– число всех возможных элементарных исходов испытания.

Вероятность есть число, характеризующее возможность появления события.

6.Статистическое определение вероятности..

Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач, где все возможные исходы опыта можно свести к схеме случаев. В большинстве реальных задач эта схема неприменима. В таких ситуациях требуется определять вероятность собы-тия иным образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты W(A) события A как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний:

(1.2)

где N – общее число опытов, М – число появлений события А.

Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковых условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью рассматриваемого события.

Определение 1.9. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

Замечание 1. Из формулы (1.2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ее классического определения, справедливы и для статистического определения вероят-ности.

Замечание 2. Для существования статистической вероятности события А требуется:

• возможность производить неограниченное число испытаний;

• устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа опытов.

Замечание 3. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.

Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка (скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесяти раз из каждой сотни выстрелов.

7.Аксиоматическое определение вероятности.

Пусть задано пространство элементарных событий  Е  и каждому событию  А Е  поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события  А . Аксиомы теории вероятностей Аксиома 1. Каждому событию соответствует определенное число , удовлетворяющее условию , и называемое его вероятностью. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. Аксиома 3. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Аксиома 3^*. Вероятность суммы конечного или бесконечного множества несовместных событий равна сумме их вероятностей: . 8.Сумма вероятностей попарно несовместных событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 1: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

.

Следствие 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий равна единице.

, где – полная группа событий.

Следствие 3: Вероятность события, противоположного событию , равна разности между единицей и вероятностью события . .