29.Мода, коэффициент вариации, среднее квадратическое отклонение дсв

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Например для ряда

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т.е. , то ;

при четном медиана мода равна .

30. Понятие математического ожидания дсв. Его свойства

Математическим ожиданием ( ) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Пусть даны две независимые дискретные случайные величины и . Рассмотрим свойства математического ожидания:

1)Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: .

Постоянную величину можно рассматривать как величину, принимающую значение с вероятностью 1. Поэтому . █

2)Пусть - некоторая постоянная. .

. █

3) .

В соответствии с определением суммы (разности) случайных величин представляет случайную величину, которая принимает значения ( ), где с вероятностями . Поэтому

.

Так как в первой двойной сумме не зависит от индекса , а во второй двойной сумме не зависит от индекса , то

. █

4) .

Так как и - независимы, то . Тогда

. █

5)Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную , то на эту же постоянную увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:

.

Используя свойства 1 и 3 математического ожидания, получим:

. █

6)Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: .

Пусть , тогда по свойству 5 . █

31.Определение 8. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

, или , где .

В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания , так как по свойству 6 математического ожидания эта величина равна нулю для любой случайной величины. Если случайная величина - дискретная с конечным числом значений, то .

Если случайная величина - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то (если ряд в правой части сходится).

Определение Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии: .

Свойства дисперсии случайных величин:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

. █

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: .

. █

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: или , где .

Пусть . Тогда

4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .