9.Противоположные события, сумма вероятностей противоположных событий.
Противоположными
называют
два
единственно возможных события образующих
полную группу событий.Обозначение:
и
;
Пример. Монета брошена 1 раз. События: – выпал герб и – выпала решка противоположные.
Брошена игральная кость. События: - выпало четное число очков и - выпало нечетное число очков противоположные.
События: - выпала 1 и - не выпала 1 противоположные.
Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице. ; p + q = l
10.Совместные события. Формула сложения вероятностей совместных событий.
События называют совместными, если появление одного из них не исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
.
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий (например, для трех совместных событий):
.
Пример.
Вероятность того, что стрелок при одном
выстреле выбьет
очков, равна
;
вероятность выбить
очков, равна
.
Найти вероятность того, что при одном
выстреле стрелок выбьет не менее
очков.Решение.
Обозначим
событие, состоящее в том, что при одном
выстреле стрелок выбьет не менее
очков. Событие
произойдет, если стрелок выбьет или
очков (событие
),
или
очков (событие
),
т.е.
– сумма событий
и
.
События и несовместные (попадание в , исключает попадание в при одном выстреле, и наоборот), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:
.
11.Зависимые события. Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого события.
Пример.
В ящике
красных и
белых шара. Наудачу берут один шар, не
возвращая его в ящик. Если появился
красный шар (событие
),
то вероятность извлечения красного
шара при втором испытании (событие
)
;
если же в первом испытании вынут белый
шар, то вероятность
.Т.о.
вероятность появления события
зависит от наступления или ненаступления
события
.
События
и
–
зависимые.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго:
.
Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.
Пример. игральная кость брошена два раза. Вероятность появления « » при втором бросании (событие ) не зависит от появления « » при первом бросании (событие ). События и – независимые.
Пример.
В ящике
красных и
белых шара. Из ящика наудачу берут один
шар. Очевидно, вероятность появления
красного шара (событие
)
равна
.
Взятый шар возвращают в ящик и испытание
повторяют. Вероятность появления
красного шара при втором испытании
(событие
),
по прежнему равна
и не зависит от результата первого
испытания. Т.о. события
и
–
независимые.
Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.
Несколько событий называют независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий
Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность
совместного появления двух независимых
событий равна произведению вероятностей
этих событий:
.
Следствие:
Вероятность появления нескольких
событий, независимых в совокупности,
равна произведению вероятностей этих
событий.
.