Свойства ковариации случайных величин:

1. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

2. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, то есть .

3. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, то есть .

Определение 2. Коэффициентом корреляции двух СВ называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Из определения следует, что .

Коэффициент корреляции в отличие от ковариации – есть величина безразмерная, то есть не зависит от размерности случайных величин.

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке , то есть .

2. Если две случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю.

Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, однако из некоррелированности двух случайных величин еще не следует их независимость.

3. Если коэффициент корреляции двух СВ равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость.

С помощью ковариации можно дополнить и уточнить некоторые свойства математического ожидания и дисперсии:

1. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно сумме произведения их математических ожиданий и ковариации этих случайных величин:

.

Если , то .

2. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий и удвоенной ковариации этих случайных величин:

.

56.Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева.Теорема 1. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

, где .

Доказательство. Применим неравенство Маркова к случайной величине , взяв в качестве положительного числа . Получим . Так как неравенство равносильно неравенству , а есть дисперсия случайной величины , то отсюда следует доказываемое неравенство.

Учитывая, что события и противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме:

.

Теорема Чебышева. Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий , то есть

.

58.Генеральная совокупность и выборка (основные понятия). Способы организации выборок. Вариационный ряд.Тт

Элементы математической статистики

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов, из которых производится выборка.

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака из генеральной совокупности извлечена выборка объема , причем наблюдалось раз, раз, раз и . Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в порядке возрастания – вариационным рядом.

Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки – относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задавать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

59.Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события : ,где – число вариант, меньших . Эмпирическая функция обладает следующими свойствами: Свойство 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;

Свойство 2. – неубывающая функция;

Свойство 3. Если – наименьшая варианта, а – наибольшая, то при и при .

Пример. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

и построить ее график.

Решение. Найдем объем выборки .

Наименьшая варианта равна единице, следовательно,

при . Значение , а именно , наблюдалось раз, следовательно,

при .

Значения , а именно и , наблюдались раз, следовательно,

при .Так как наибольшая варианта, то при .

Напишем искомую эмпирическую функцию:

График этой функции

60.Гистограмма. Полигон частот. Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁; n₁), (x₂; n₂), ..., (х_к; n_к). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i; n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁; W₁), (x₂; W₂), ..., (x_k; W_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат–соответствующие им относительные частоты W_i. Точки (x_i; W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот. На рис.изображен полигон относительных частот следующего распределения:

X	1,5	3,5	5,5	7,5
W	0,1	0,2	0,4	0,3

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i -– сумму частот вариант, попавших в i - й интервал.Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n _il h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i / h. Площадь i - го частичного прямоугольника равна hn_i/h = n_i – сумме частот вариант i-гo интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

На рис. 21 изображена гистограмма частот распределения объема n = 100, приведенного в табл. 6.Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению W_i/h (плотность относительной частоты).Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_t/h.

Частичные интервал длиною h = 5	Сумма частот вариант частичного интервала ni	Плотность частоты ni/h
5–10	4	0,8
10–15	6	1,2
15–20	16	3,2
20–25	36	7,2
25–30	24	4,8
30–35	10	2,0
35–40	4	0,8

 Площадь i - гo частичного прямоугольника равна hW_i l h = W_i – относительной частоте вариант, попавших в i - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.