45.Показательный закон распределение нсв

Показательное распределение.

Определение 6.3. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Следовательно,

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b):

.Значения функции е^-х можно найти из таблиц.

50.Среднее квадратическое отклонение

Дисперсией D(X)случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания: D(X)=M[X-M(X)]^2

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания.

51.Закон распределения системы двух случайных величин.

Системы двух случайных величин

Двумерной называют случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Составляющие и , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Дискретной называют двумерную случайную величину, составляющие которой дискретны.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел и их вероятностей . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом:

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Для того, чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности «столбца ». Сложив вероятности «строки », получим вероятность .

53.Числовые характеристики системы двух случайных величин. Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики. Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих случайных величин: . Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин и . Корреляционный момент служит для характеристики связи между случайными величинами и . Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю. Теорема. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин и не превосходит среднего геометрического их дисперсий: .  Коэффициентом корреляции случайных величин и называют отношение корреляционного момента к произведению их средних квадратических отклонений: . Так как размерность равна произведению размерностей случайных величин и , имеет размерность случайной величины , имеет размерность случайной величины , то – безразмерная величина. Теорема. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы: .

54.Коэффициент корреляции и его свойства.

Ковариация и коэффициент корреляции.

Пусть имеется двумерная СВ , распределение которой известно. Тогда можно найти математические ожидания , и дисперсии и одномерных составляющих и . Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин и недостаточно полно характеризуют двумерную СВ , так как не выражают степени зависимости ее составляющих и . Эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции.

Определение 1. Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, то есть

.

Из определения следует, что .

Для дискретных СВ: .

Для непрерывных СВ: .

Ковариация двух СВ характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки .