1.Основные понятия комбинарторики. Перестановка.

Элементы комбинаторики

Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

• Перестановки;

• Размещения;

• Сочетания;

Перестановки. Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называют перестановками. Обозначаются символом ; ;

Пример. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует вариантов распределить места между ними.

Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по местам – равно числу перестановок из четырех элементов: .

Пример. В ящике пять одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ящика. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Благоприятствует событию только один исход, (из всех возможных комбинаций номеров только одна с порядком возрастания номеров). Общее число возможных исходов – количество комбинаций из номеров, .Искомая вероятность: .

Основной закон комбинаторики. Пусть нужно провести k действий, причём

первое действие можно провести n1 способами, второе – n2 способами, ... , k-е –

nk способами. Тогда все действия можно провести n1*n2*...*nk способами.

2.Основные понятия комбинарторики. Сочетания.

Элементы комбинаторики

Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

• Перестановки;

• Размещения;

• Сочетания;

Сочетаниями называют все возможные комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.Обозначаются символом - количество всех имеющихся элементов; – количество элементов в каждой комбинации; . ;

Пример. Сколькими способами можно выбрать студентов, из группы численностью человек.

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из 30 элементов и включающих по элемента (причем комбинации: {Пархоменко, Сергиенко, Божок} и {Сергиенко, Божок, Пархоменко}– одинаковые комбинации). Используем число размещений из элементов по :

.

Пример. В урне белых и красных шара. Из урны наудачу извлекают шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары – белые.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что все 3 шара будут белыми.

Всего в урне шаров.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шара из :

.

Число исходов благоприятствующих событию равно числу способов, которыми можно отобрать белых шара из имеющихся белых:

.Искомая вероятность равна: .

Пример. В ящике имеется одинаковых шаров. Причем из них окрашены в синий цвет, а остальные белые. Наудачу извлекают шаров. Найти вероятность того, что среди них синих.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что среди извлеченных шаров синих.Обще число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шаров из , т.е.

.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию : синих шара можно взять из имеющихся синих шаров способами; при этом остальные шара должны быть белыми, взять же белых шара из имеющихся можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

.Искомая вероятность:

.

В общем случае, для решения задач типа: В партии из деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно стандартных. Можно использовать формулу:

.