IOOD_Lab

Лабораторна робота № 4

«Побудова розподілів випадкових величин в MS Excel.

Нормальний розподіл»

Мета роботи: навчитися використовувати нормальний розподіл для рішення задач теорії імовірності .

Завдання роботи:

- уміти знаходити імовірності безперервної випадкової величини, що пі-

дкоряється нормальному розподілу, за допомогою Excel;

-будувати діаграму нормального розподілу;

-уміти використовувати інтегральний розподіл.

Теоретичні відомості

Нормальний розподіл - це сукупність об'єктів, у якій крайні значення деякої ознаки — найменш і найбільше — з'являються рідко; чим ближче зна-

чення ознаки до математичного очікування, тим частіше воно зустрічається.

Наприклад, розподіл студентів по їхній вазі наближається до нормального роз-

поділу. Цей розподіл має дуже широке коло додатків у статистику, включаючи перевірку гіпотез.

Нормальний закон розподілу.

При =1 і m=1 – нормальний стандартний розподіл ( m-мат. очікування,

2 - дисперсія ). Діаграма нормального розподілу симетрична щодо точки m (математичного очікування). Медіана нормального розподілу дорівнює теж m.

При цьому в точці m функція f(x) досягає свого максимуму.

В Excel для обчислення значень нормального розподілу використову-

ється функція НОРМРАСП, що обчислює значення імовірності нормальної функції розподілу для зазначеного середнього й стандартного відхилення.

40

Функція має параметри:

НОРМРАСП (х; середнє; стандартне_відх; інтегральна), де:

х — значення вибірки, для яких будується розподіл;

середнє — середнє арифметичне вибірки;

стандартне_відх — стандартне відхилення розподілу;

інтегральний — логічне значення, що визначає форму функції. Якщо інтегральна має значення ІСТИНА(1), то функція НОРМРАСП повертає інте-

гральну функцію розподілу; якщо це аргумент має значення НЕПРАВДА (0),

то обчислює значення функція щільності розподілу.

Якщо середнє = 0 і стандартне_відх = 1, то функція НОРМРАСП повер-

тає стандартний нормальний розподіл.

Приклад 1. Побудувати графік нормальної функції розподілу f(x) при x,

що міняється від 19,8 до 28,8 із кроком 0,5, математичним очікуванням 24,3 і

стандартним відхиленням 1,5.

Рішення

1.В комірку А1 уводимо символ випадкової величини х, а в комірку B1

—символ функції щільності імовірності — f(x).

2.Уводимо в діапазон А2:А21 значення х від 19,8 до 28,8 із кроком 0,5.

Для цього скористаємося маркером автозаповнення: в комірку А2 уводимо ліву границю діапазону (19,8), в осередок A3 ліву границю плюс крок (20,3). Виді-

ляємо блок А2:А3. Потім за правий нижній кут простягаємо мишею до осере-

дку А21 (при натиснутій лівій кнопці миші).

3. Установлюємо табличний курсор в осередок В2 і для одержання зна-

чення імовірності скористаємося спеціальною функцією — натискаємо на па-

нелі інструментів кнопку Вставка функції (fx). У діалоговому вікні, що з'явилося, Майстер функцій - крок 1 з 2 ліворуч у поле Категорія зазначені види функцій. Вибираємо Статистична. Праворуч у поле Функція вибирає-

мо функцію НОРМРАСП. Натискаємо на кнопку ОК.

4. З'являється діалогове вікно НОРМРАСП. У робоче поле X уводимо

адресу осередку А2 клацанням миші на цьому осередку. У робоче поле Се-

41

реднє вводимо із клавіатури значення математичного очікування (24,3). У ро-

боче поле Стандартне_відх уводимо із клавіатури значення середньоквадра-

тичного відхилення (1,5). У робоче поле Інтегральна вводимо із клавіатури вид функції розподілу (0). Натискаємо на кнопку ОК (рис 4.1).

Рисунок 4.1 – Заповнені аргументи функції

5. В комірці В2 з'являється імовірність р = 0,002955. Курсором миші за правий нижній кут табличного курсору протяганням (при натиснутій лівій кнопці миші) з осередку В2 до В21 копіюємо функцію НОРМРАСП у діапа-

зон В3:В21.

6. За отриманим даними будуємо шукану діаграму нормальної функції розподілу. Клацанням курсором миші на кнопці на панелі інструментів ви-

кликаємо Майстер діаграм. У діалоговому вікні, що з'явилося, вибираємо тип

діаграми Графік, вид - лівий верхній. Після натискання кнопки Далі вказуємо діапазон даних — В1:В21 (за допомогою миші). Перевіряємо, положення пе-

ремикача Ряди в: стовпцях. Вибираємо закладку Ряд і за допомогою миші вводимо діапазон підписів осі X: А2:А21. Нажавши на кнопку Далі, уводимо назви осей Х и В і натискаємо на кнопку Готово.

Приклад 2. Побудувати діаграму стандартного нормального інтеграль-

ного розподілу.

1.В комірку А1 уводимо символ випадкової величини x, а в осередок В1

-символ стандартного нормального розподілу імовірності - Ф(x).

42

Рисунок 4.2 – Графік нормальної функції розподілу

2.Уводимо діапазон по x від -3 до 3 із кроком 0,5.

3.В В2 – вставка функції НОРМРАСПР. Розтягуємо В2 до В14.

4.Через майстер діаграм будуємо графік.

Приклад 3. Знайти верхню й нижню квартили для нормальної щільності при М=24,3 і дисперсії 2,25.

1. Для одержання значення верхньої квартили скористаємося спеціаль-

ною функцією НОРМОБР, що вставляємо в комірку А1.

2. У діалогове вікно, у робоче поле Імовірність уводимо значення імо-

вірності верхньої квартили – 0,75, у Середнє – 24,3, у Стандартне_відх - сере-

дньоквадратичне відхилення ( у прикладі – 1.5). Після ОК в А1 з'являється значення верхньої квартили.

3. Повторюємо для осередку А2 (в Імовірність – 0.25).

43

Завдання для самостійної роботи

1. Побудувати графік нормальної функції щільності розподілу f(x) при

x, що змінюється від 20 до 40 із кроком 1 при =3.

2.Знайти імовірність того, що з'явиться випадкова величина x 42 при нормальному законі розподілу імовірностей з М=40 і 1,5 .

3.Побудувати діаграму нормальної функції щільності імовірності при М=40 і 2 .

4.Знайти квантиль для р=09087089 і нормального розподілу із задачі 2.

5.Побудувати діаграму інтегральної функції розподілу імовірності при М=30 і 3.

6.Знайти нормалізоване значення x, якщо x=21, М=20, 1,5 .

Контрольні питання

1.Що називають законом розподілу випадкової величини?

2.Що значить «нормальний» закон розподілу?

3.Який графік даного розподілу?

4.Чому дорівнює математичне очікування?

5.Чому дорівнює дисперсія?

6.Чому дорівнює мода і медіана?

44

Лабораторна робота № 5

«Використання електронних таблиць Excel для побудови

вибіркових функцій розподілу»

Мета роботи: Побудувати вибіркові функції розподілу за допомогою

MS Excel.

Теоретичні відомості

Розглянуті раніше розподіли імовірностей випадкової величини (ВВ)

опираються на знання закону розподілу ВВ. Для практичних задач таке знання

– рідкість. Тут закон розподілу звичайно невідомий, або відомий з точністю до деяких невідомих параметрів. Зокрема, неможливо розрахувати точне значення відповідних імовірностей, тому що не можна визначити кількість загальних і сприятливих ісходів. Тому вводиться статистичне визначення імовірності.

По цьому визначенню імовірність дорівнює відношенню числа випробувань, у

яких подія відбулася, до загального числа зроблених випробувань. Така імовір-

ність називається статистичною частотою.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант і відповід-

них їм частот або відносних частот.

Зв'язок між емпіричною функцією розподілу й функцією розподілу

(теоретичною функцією розподілу) така ж, як зв'язок між частотою події і його імовірністю.

Для побудови вибіркової функції розподілу весь діапазон зміни випад-

кової величини X (вибірки) розбивають на ряд інтервалів (кишень) однакової ширини. Кількість інтервалів звичайно вибирають не менш 3 і не більше 15.

Потім визначають число значень випадкової величини X, що потрапили в кож-

ний інтервал (абсолютна частота, частота інтервалів).

Сума всіх абсолютних частот називають об'ємом вибірки (тобто кіль-

кість всіх об'єктів вибірки). Наприклад, у наступній гістограмі осі ординат від-

кладені ni / h (h – довжина інтервалу), отже, об'єм вибірки дорівнює 2 * (1 + 2 +

4 + 5) = 24.

45

Частота інтервалів – число, що показує скільки разів значення, що ста-

вляться до кожного інтервалу угруповання, зустрічаються у вибірці. Поділив-

ши ці числа на загальну кількість спостережень (n), знаходять відносну частоту (частість) влучення випадкової величини X у задані інтервали.

По знайдених відносних частотах будують гістограми вибіркових функ-

цій розподілу.

Гістограма розподілу частот – це графічне подання вибірки, де по осі абсцис (ОХ) відкладені величини інтервалів, а по осі ординат (ОУ) – величини частот, що попадають у даний класовий інтервал. При збільшенні нескінченно розміру вибірки вибіркові функції розподілу перетворюються в теоретичні: гіс-

тограма перетворюється в графік щільності розподілу.

Накопичена частота інтервалів – це число, отримане послідовним пі-

дсумовуванням частот у напрямку від першого інтервалу до останнього, до то-

го інтервалу включно, для якого визначається накопичена частота.

В Excel для побудови вибіркових функцій розподілу використовуються спеціальна функція ЧАСТОТА й процедура Гістограма з пакета аналізу.

Функція ЧАСТОТА (масив_даних, двійковий_масив)обчислює часто-

ти появи випадкової величини в інтервалах значень і виводить їх як масив цифр, де

•масив_даних — це масив або посилання на множину даних, для яких обчислюються частоти;

•двійковий_масив — це масив інтервалів, по яких групуються значення

вибірки.

Процедура Гістограма з Пакету аналізу виводить результати вибірко-

46

вого розподілу у вигляді таблиці й графіка. Параметри діалогового вікна Гісто-

грама:

•Вхідний діапазон - діапазон досліджуваних даних (вибірка);

•Інтервал кишень – діапазон комірок або набір граничних значень, що визначають обрані інтервали (кишені). Ці значення повинні бути уведені в зро-

стаючому порядку. Якщо діапазон кишень не був уведений, то набір інтервалів,

рівномірно розподілених між мінімальним і максимальним значеннями даних,

буде створений автоматично.

• вихідний діапазон призначений для уведення посилання на ліву верх-

ню комірку вихідного діапазону.

• перемикач Інтегральний відсоток дозволяє встановити режим вклю-

чення в гістограму графіка інтегральних відсотків.

• перемикач Вивід графіка дозволяє встановити режим автоматичного створення убудованої діаграми на аркуші, що містить вихідний діапазон.

Завдання 1.

Побудувати емпіричний розподіл ваги студентів у кілограмах для на-

ступної вибірки: 64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 70, 60, 61, 65, 62, 62, 40, 64, 61, 59, 59,

63, 61.

Рішення

1. В комірку А1 уведіть слово Спостереження, а в діапазон А2:А21 —

значення ваги студентів.

2. В комірку В1 уведіть назви інтервалів Вага, кг. У діапазон В2:В8 уве-

діть граничні значення інтервалів (40, 45, 50, 55, 60, 65, 70).

3. Уведіть заголовки створюваної таблиці: в комірки С1 — Абсолютні частоти, в комірки D1 — Відносні частоти, в комірки E1 — Накопичені ча-

стоти.

4. За допомогою функції Частота заповніть стовпець абсолютних час-

тот, для цього виділите блок комірок С2:С8. З панелі інструментів Стандартна

викличте Майстер функцій (кнопка fx). У діалоговому вікні, що з'явилося, ви-

беріть категорію Статистичні й функцію ЧАСТОТА, після чого натисніть

47

кнопку ОК. Курсором миші в робоче поле Масив_даних уведіть діапазон да-

них спостережень (А2:А21). У робоче поле Двійковий_масив мишею введіть діапазон інтервалів (В2:В8). Ліворуч на клавіатурі послідовно натисніть комбі-

націю клавіш Ctrl+Shift+Enter. У стовпці C повинен з'явитися масив абсолют-

них частот.

Рисунок 5.1 – Вигляд діалогового вікна для введення параметрів функції ЧАСТОТА

Рисунок 5.2 – Вигляд електронної таблиці після обчислення абсолютних частот

48